แก้โจทย์ {c}{0.4(3x+1)-0.2(2x+y)=-0.4}{3(0.4x-0.5)+5(0.3y-1.1)=-2.8}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 0.4 ( 3 x + 1 ) - 0.2 ( 2 x + y ) = - 0.4 } \\ { 3 ( 0.4 x - 0.5 ) + 5 ( 0.3 y - 1.1 ) = - 2.8 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-0.25$$

$$y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 0.4 ด้วย 3x+1

$$1.2x+0.4-0.2\left(2x+y\right)=-0.4$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -0.2 ด้วย 2x+y

$$1.2x+0.4-0.4x-0.2y=-0.4$$

รวม 1.2x และ -0.4x เพื่อให้ได้รับ 0.8x

$$0.8x+0.4-0.2y=-0.4$$

ลบ 0.4 จากทั้งสองด้าน

$$0.8x-0.2y=-0.4-0.4$$

ลบ 0.4 จาก -0.4 เพื่อรับ -0.8

$$0.8x-0.2y=-0.8$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 0.4x-0.5

$$1.2x-1.5+5\left(0.3y-1.1\right)=-2.8$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 5 ด้วย 0.3y-1.1

$$1.2x-1.5+1.5y-5.5=-2.8$$

ลบ 5.5 จาก -1.5 เพื่อรับ -7

$$1.2x-7+1.5y=-2.8$$

เพิ่ม 7 ไปทั้งสองด้าน

$$1.2x+1.5y=-2.8+7$$

เพิ่ม -2.8 และ 7 เพื่อให้ได้รับ 4.2

$$1.2x+1.5y=4.2$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$0.8x-0.2y=-0.8,1.2x+1.5y=4.2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$0.8x-0.2y=-0.8$$

เพิ่ม \frac{y}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$0.8x=0.2y-0.8$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 0.8 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=1.25\left(0.2y-0.8\right)$$

คูณ 1.25 ด้วย \frac{y-4}{5}

$$x=0.25y-1$$

ทดแทน \frac{y}{4}-1 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 1.2x+1.5y=4.2

$$1.2\left(0.25y-1\right)+1.5y=4.2$$

คูณ 1.2 ด้วย \frac{y}{4}-1

$$0.3y-1.2+1.5y=4.2$$

เพิ่ม \frac{3y}{10} ไปยัง \frac{3y}{2}

$$1.8y-1.2=4.2$$

เพิ่ม 1.2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$1.8y=5.4$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 1.8 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ y ใน x=0.25y-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=0.25\times 3-1$$

คูณ 0.25 ด้วย 3

$$x=0.75-1$$

เพิ่ม -1 ไปยัง 0.75

$$x=-0.25$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-0.25,y=3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 0.4 ด้วย 3x+1

$$1.2x+0.4-0.2\left(2x+y\right)=-0.4$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -0.2 ด้วย 2x+y

$$1.2x+0.4-0.4x-0.2y=-0.4$$

รวม 1.2x และ -0.4x เพื่อให้ได้รับ 0.8x

$$0.8x+0.4-0.2y=-0.4$$

ลบ 0.4 จากทั้งสองด้าน

$$0.8x-0.2y=-0.4-0.4$$

ลบ 0.4 จาก -0.4 เพื่อรับ -0.8

$$0.8x-0.2y=-0.8$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 0.4x-0.5

$$1.2x-1.5+5\left(0.3y-1.1\right)=-2.8$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 5 ด้วย 0.3y-1.1

$$1.2x-1.5+1.5y-5.5=-2.8$$

ลบ 5.5 จาก -1.5 เพื่อรับ -7

$$1.2x-7+1.5y=-2.8$$

เพิ่ม 7 ไปทั้งสองด้าน

$$1.2x+1.5y=-2.8+7$$

เพิ่ม -2.8 และ 7 เพื่อให้ได้รับ 4.2

$$1.2x+1.5y=4.2$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$0.8x-0.2y=-0.8,1.2x+1.5y=4.2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\1.2&1.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8\\4.2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\1.2&1.5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\1.2&1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\1.2&1.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\1.2&1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.8\\4.2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\1.2&1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.8\\4.2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\1.2&1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.8\\4.2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1.5}{0.8\times 1.5-\left(-0.2\times 1.2\right)}&-\frac{-0.2}{0.8\times 1.5-\left(-0.2\times 1.2\right)}\\-\frac{1.2}{0.8\times 1.5-\left(-0.2\times 1.2\right)}&\frac{0.8}{0.8\times 1.5-\left(-0.2\times 1.2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-0.8\\4.2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{24}&\frac{5}{36}\\-\frac{5}{6}&\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-0.8\\4.2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{24}\left(-0.8\right)+\frac{5}{36}\times 4.2\\-\frac{5}{6}\left(-0.8\right)+\frac{5}{9}\times 4.2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25\\3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-0.25,y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 0.4 ด้วย 3x+1

$$1.2x+0.4-0.2\left(2x+y\right)=-0.4$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -0.2 ด้วย 2x+y

$$1.2x+0.4-0.4x-0.2y=-0.4$$

รวม 1.2x และ -0.4x เพื่อให้ได้รับ 0.8x

$$0.8x+0.4-0.2y=-0.4$$

ลบ 0.4 จากทั้งสองด้าน

$$0.8x-0.2y=-0.4-0.4$$

ลบ 0.4 จาก -0.4 เพื่อรับ -0.8

$$0.8x-0.2y=-0.8$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 0.4x-0.5

$$1.2x-1.5+5\left(0.3y-1.1\right)=-2.8$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 5 ด้วย 0.3y-1.1

$$1.2x-1.5+1.5y-5.5=-2.8$$

ลบ 5.5 จาก -1.5 เพื่อรับ -7

$$1.2x-7+1.5y=-2.8$$

เพิ่ม 7 ไปทั้งสองด้าน

$$1.2x+1.5y=-2.8+7$$

เพิ่ม -2.8 และ 7 เพื่อให้ได้รับ 4.2

$$1.2x+1.5y=4.2$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$0.8x-0.2y=-0.8,1.2x+1.5y=4.2$$

เพื่อทำให้ \frac{4x}{5} และ \frac{6x}{5} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1.2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 0.8

$$1.2\times 0.8x+1.2\left(-0.2\right)y=1.2\left(-0.8\right),0.8\times 1.2x+0.8\times 1.5y=0.8\times 4.2$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$0.96x-0.24y=-0.96,0.96x+1.2y=3.36$$

ลบ 0.96x+1.2y=3.36 จาก 0.96x-0.24y=-0.96 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$0.96x-0.96x-0.24y-1.2y=\frac{-24-84}{25}$$

เพิ่ม \frac{24x}{25} ไปยัง -\frac{24x}{25} ตัดพจน์ \frac{24x}{25} และ -\frac{24x}{25} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-0.24y-1.2y=\frac{-24-84}{25}$$

เพิ่ม -\frac{6y}{25} ไปยัง -\frac{6y}{5}

$$-1.44y=\frac{-24-84}{25}$$

เพิ่ม -0.96 ไปยัง -3.36 ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$-1.44y=-4.32$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -1.44 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ y ใน 1.2x+1.5y=4.2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$1.2x+1.5\times 3=4.2$$

คูณ 1.5 ด้วย 3

$$1.2x+4.5=4.2$$

ลบ 4.5 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$1.2x=-0.3$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 1.2 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=-0.25$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-0.25,y=3$$