แก้โจทย์ {c}{-x+2y=0}{2x-3y+1=0}

$$\left\{ \begin{array} { c } { - x + 2 y = 0 } \\ { 2 x - 3 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-2$$

$$y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-x+2y=0,2x-3y+1=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-x+2y=0$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-x=-2y$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=-\left(-2\right)y$$

คูณ -1 ด้วย -2y

$$x=2y$$

ทดแทน 2y สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x-3y+1=0

$$2\times 2y-3y+1=0$$

คูณ 2 ด้วย 2y

$$4y-3y+1=0$$

เพิ่ม 4y ไปยัง -3y

$$y+1=0$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน x=2y เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=2\left(-1\right)$$

คูณ 2 ด้วย -1

$$x=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-2,y=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-x+2y=0,2x-3y+1=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-\left(-3\right)-2\times 2}&-\frac{2}{-\left(-3\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{-\left(-3\right)-2\times 2}&-\frac{1}{-\left(-3\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\left(-1\right)\\-1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-2,y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-x+2y=0,2x-3y+1=0$$

เพื่อทำให้ -x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -1

$$2\left(-1\right)x+2\times 2y=0,-2x-\left(-3y\right)-1=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-2x+4y=0,-2x+3y-1=0$$

ลบ -2x+3y-1=0 จาก -2x+4y=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-2x+2x+4y-3y+1=0$$

เพิ่ม -2x ไปยัง 2x ตัดพจน์ -2x และ 2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4y-3y+1=0$$

เพิ่ม 4y ไปยัง -3y

$$y+1=0$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน 2x-3y+1=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x-3\left(-1\right)+1=0$$

คูณ -3 ด้วย -1

$$2x+3+1=0$$

เพิ่ม 3 ไปยัง 1

$$2x+4=0$$

ลบ 4 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-2,y=-1$$