แก้โจทย์ {c}{-2a+2b=2}{3a-2b=2}

$$\left\{ \begin{array} { c } { - 2 a + 2 b = 2 } \\ { 3 a - 2 b = 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า a, b

$$a=4$$

$$b=5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-2a+2b=2,3a-2b=2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ a โดยแยก a ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-2a+2b=2$$

ลบ 2b จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2a=-2b+2$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$a=-\frac{1}{2}\left(-2b+2\right)$$

คูณ -\frac{1}{2} ด้วย -2b+2

$$a=b-1$$

ทดแทน b-1 สำหรับ a ในอีกสมการหนึ่ง 3a-2b=2

$$3\left(b-1\right)-2b=2$$

คูณ 3 ด้วย b-1

$$3b-3-2b=2$$

เพิ่ม 3b ไปยัง -2b

$$b-3=2$$

เพิ่ม 3 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$b=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ b ใน a=b-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a=5-1$$

เพิ่ม -1 ไปยัง 5

$$a=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=4,b=5$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-2a+2b=2,3a-2b=2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-2\times 3}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{-2\left(-2\right)-2\times 3}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2+2\\\frac{3}{2}\times 2+2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ a และ b

$$a=4,b=5$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-2a+2b=2,3a-2b=2$$

เพื่อทำให้ -2a และ 3a เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -2

$$3\left(-2\right)a+3\times 2b=3\times 2,-2\times 3a-2\left(-2\right)b=-2\times 2$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-6a+6b=6,-6a+4b=-4$$

ลบ -6a+4b=-4 จาก -6a+6b=6 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-6a+6a+6b-4b=6+4$$

เพิ่ม -6a ไปยัง 6a ตัดพจน์ -6a และ 6a ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$6b-4b=6+4$$

เพิ่ม 6b ไปยัง -4b

$$2b=6+4$$

เพิ่ม 6 ไปยัง 4

$$2b=10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$b=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ b ใน 3a-2b=2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$3a-2\times 5=2$$

คูณ -2 ด้วย 5

$$3a-10=2$$

เพิ่ม 10 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3a=12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$a=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=4,b=5$$