แก้โจทย์ ∫ (from 1 to 5) of (15t^3-135t^2+225t)dt=

$$\int _ { 1 } ^ { 5 } ( 15 t ^ { 3 } - 135 t ^ { 2 } + 225 t ) d t =$$

หาค่า

$$-540$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

หาค่าปริพันธ์ที่ไม่จำกัดก่อน

$$\int 15t^{3}-135t^{2}+225t\mathrm{d}t$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int 15t^{3}\mathrm{d}t+\int -135t^{2}\mathrm{d}t+\int 225t\mathrm{d}t$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$15\int t^{3}\mathrm{d}t-135\int t^{2}\mathrm{d}t+225\int t\mathrm{d}t$$

เนื่องจาก \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int t^{3}\mathrm{d}t ด้วย \frac{t^{4}}{4} คูณ 15 ด้วย \frac{t^{4}}{4}

$$\frac{15t^{4}}{4}-135\int t^{2}\mathrm{d}t+225\int t\mathrm{d}t$$

เนื่องจาก \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int t^{2}\mathrm{d}t ด้วย \frac{t^{3}}{3} คูณ -135 ด้วย \frac{t^{3}}{3}

$$\frac{15t^{4}}{4}-45t^{3}+225\int t\mathrm{d}t$$

เนื่องจาก \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int t\mathrm{d}t ด้วย \frac{t^{2}}{2} คูณ 225 ด้วย \frac{t^{2}}{2}

$$\frac{15t^{4}}{4}-45t^{3}+\frac{225t^{2}}{2}$$

อินทิกรัล definite เป็น antiderivative ของนิพจน์ที่ประเมินที่ขีดจำกัดสูงสุดของการรวมข้อมูลลบ antiderivative ที่ประเมินเมื่อขีดจำกัดล่างของการรวม

$$\frac{15}{4}\times 5^{4}-45\times 5^{3}+\frac{225}{2}\times 5^{2}-\left(\frac{15}{4}\times 1^{4}-45\times 1^{3}+\frac{225}{2}\times 1^{2}\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-540$$