แก้โจทย์ ∫ (from - 3 to 5) of (2x-3)^2(3x+3) wrt x=

$$\int _ { - 3 } ^ { 5 } ( 2 x - 3 ) ^ { 2 } ( 3 x + 3 ) d x =$$

หาค่า

$$560$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(2x-3\right)^{2}

$$\int _{-3}^{5}\left(4x^{2}-12x+9\right)\left(3x+3\right)\mathrm{d}x$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4x^{2}-12x+9 ด้วย 3x+3 และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$\int _{-3}^{5}12x^{3}-24x^{2}-9x+27\mathrm{d}x$$

หาค่าปริพันธ์ที่ไม่จำกัดก่อน

$$\int 12x^{3}-24x^{2}-9x+27\mathrm{d}x$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int 12x^{3}\mathrm{d}x+\int -24x^{2}\mathrm{d}x+\int -9x\mathrm{d}x+\int 27\mathrm{d}x$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$12\int x^{3}\mathrm{d}x-24\int x^{2}\mathrm{d}x-9\int x\mathrm{d}x+\int 27\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{3}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{4}}{4} คูณ 12 ด้วย \frac{x^{4}}{4}

$$3x^{4}-24\int x^{2}\mathrm{d}x-9\int x\mathrm{d}x+\int 27\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{2}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{3}}{3} คูณ -24 ด้วย \frac{x^{3}}{3}

$$3x^{4}-8x^{3}-9\int x\mathrm{d}x+\int 27\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{2}}{2} คูณ -9 ด้วย \frac{x^{2}}{2}

$$3x^{4}-8x^{3}-\frac{9x^{2}}{2}+\int 27\mathrm{d}x$$

ค้นหาอินทิกรัลของ 27 โดยใช้ \int a\mathrm{d}x=ax ของกฎอินทิกรัลทั่วไป

$$3x^{4}-8x^{3}-\frac{9x^{2}}{2}+27x$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-\frac{9x^{2}}{2}+27x-8x^{3}+3x^{4}$$

อินทิกรัล definite เป็น antiderivative ของนิพจน์ที่ประเมินที่ขีดจำกัดสูงสุดของการรวมข้อมูลลบ antiderivative ที่ประเมินเมื่อขีดจำกัดล่างของการรวม

$$-\frac{9}{2}\times 5^{2}+27\times 5-8\times 5^{3}+3\times 5^{4}-\left(-\frac{9}{2}\left(-3\right)^{2}+27\left(-3\right)-8\left(-3\right)^{3}+3\left(-3\right)^{4}\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$560$$