แก้โจทย์ ∫ (x-3)(x+1)

$$\int ( x - 3 ) ( x + 1 )$$

หาค่า

$$\frac{x^{3}}{3}-x^{2}-3x+С$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ใช้คุณสมบัติการแจกแจง โดยการคูณแต่ละพจน์ของ x-3 กับแต่ละพจน์ของ x+1

$$\int x^{2}+x-3x-3\mathrm{d}x$$

รวม x และ -3x เพื่อให้ได้รับ -2x

$$\int x^{2}-2x-3\mathrm{d}x$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -2x\mathrm{d}x+\int -3\mathrm{d}x$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$\int x^{2}\mathrm{d}x-2\int x\mathrm{d}x+\int -3\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{2}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{3}}{3}

$$\frac{x^{3}}{3}-2\int x\mathrm{d}x+\int -3\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{2}}{2} คูณ -2 ด้วย \frac{x^{2}}{2}

$$\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+\int -3\mathrm{d}x$$

ค้นหาอินทิกรัลของ -3 โดยใช้ \int a\mathrm{d}x=ax ของกฎอินทิกรัลทั่วไป

$$\frac{x^{3}}{3}-x^{2}-3x$$

ถ้า F\left(x\right) เป็น antiderivative ของ f\left(x\right) จากนั้นชุดของ f\left(x\right) antiderivatives ทั้งหมดที่ได้รับมาจาก F\left(x\right)+C ดังนั้นให้เพิ่มค่าคงที่ของการรวม C\in \mathrm{R} ลงในผลลัพธ์

$$\frac{x^{3}}{3}-x^{2}-3x+С$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. x

$$\left(x-3\right)\left(x+1\right)$$