แก้โจทย์ ∫ (x+3)^2

$$\int ( x + 3 ) ^ { 2 }$$

หาค่า

$$\frac{\left(x+3\right)^{3}}{3}+С$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x+3\right)^{2}

$$\int x^{2}+6x+9\mathrm{d}x$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 6x\mathrm{d}x+\int 9\mathrm{d}x$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+6\int x\mathrm{d}x+\int 9\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{2}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{3}}{3}

$$\frac{x^{3}}{3}+6\int x\mathrm{d}x+\int 9\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{2}}{2} คูณ 6 ด้วย \frac{x^{2}}{2}

$$\frac{x^{3}}{3}+3x^{2}+\int 9\mathrm{d}x$$

ค้นหาอินทิกรัลของ 9 โดยใช้ \int a\mathrm{d}x=ax ของกฎอินทิกรัลทั่วไป

$$\frac{x^{3}}{3}+3x^{2}+9x$$

ถ้า F\left(x\right) เป็น antiderivative ของ f\left(x\right) จากนั้นชุดของ f\left(x\right) antiderivatives ทั้งหมดที่ได้รับมาจาก F\left(x\right)+C ดังนั้นให้เพิ่มค่าคงที่ของการรวม C\in \mathrm{R} ลงในผลลัพธ์

$$\frac{x^{3}}{3}+3x^{2}+9x+С$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. x

$$\left(x+3\right)^{2}$$