แก้โจทย์ ∫ (x+1)(2x-1)(x+9) wrt x

$$\int ( x + 1 ) ( 2 x - 1 ) ( x + 9 ) d x$$

หาค่า

$$\frac{x^{4}}{2}+\frac{19x^{3}}{3}+4x^{2}-9x+С$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ใช้คุณสมบัติการแจกแจง โดยการคูณแต่ละพจน์ของ x+1 กับแต่ละพจน์ของ 2x-1

$$\int \left(2x^{2}-x+2x-1\right)\left(x+9\right)\mathrm{d}x$$

รวม -x และ 2x เพื่อให้ได้รับ x

$$\int \left(2x^{2}+x-1\right)\left(x+9\right)\mathrm{d}x$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจง โดยการคูณแต่ละพจน์ของ 2x^{2}+x-1 กับแต่ละพจน์ของ x+9

$$\int 2x^{3}+18x^{2}+x^{2}+9x-x-9\mathrm{d}x$$

รวม 18x^{2} และ x^{2} เพื่อให้ได้รับ 19x^{2}

$$\int 2x^{3}+19x^{2}+9x-x-9\mathrm{d}x$$

รวม 9x และ -x เพื่อให้ได้รับ 8x

$$\int 2x^{3}+19x^{2}+8x-9\mathrm{d}x$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int 2x^{3}\mathrm{d}x+\int 19x^{2}\mathrm{d}x+\int 8x\mathrm{d}x+\int -9\mathrm{d}x$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$2\int x^{3}\mathrm{d}x+19\int x^{2}\mathrm{d}x+8\int x\mathrm{d}x+\int -9\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{3}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{4}}{4} คูณ 2 ด้วย \frac{x^{4}}{4}

$$\frac{x^{4}}{2}+19\int x^{2}\mathrm{d}x+8\int x\mathrm{d}x+\int -9\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{2}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{3}}{3} คูณ 19 ด้วย \frac{x^{3}}{3}

$$\frac{x^{4}}{2}+\frac{19x^{3}}{3}+8\int x\mathrm{d}x+\int -9\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{2}}{2} คูณ 8 ด้วย \frac{x^{2}}{2}

$$\frac{x^{4}}{2}+\frac{19x^{3}}{3}+4x^{2}+\int -9\mathrm{d}x$$

ค้นหาอินทิกรัลของ -9 โดยใช้ \int a\mathrm{d}x=ax ของกฎอินทิกรัลทั่วไป

$$\frac{x^{4}}{2}+\frac{19x^{3}}{3}+4x^{2}-9x$$

ถ้า F\left(x\right) เป็น antiderivative ของ f\left(x\right) จากนั้นชุดของ f\left(x\right) antiderivatives ทั้งหมดที่ได้รับมาจาก F\left(x\right)+C ดังนั้นให้เพิ่มค่าคงที่ของการรวม C\in \mathrm{R} ลงในผลลัพธ์

$$\frac{x^{4}}{2}+\frac{19x^{3}}{3}+4x^{2}-9x+С$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. x

$$\left(2x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+9\right)$$