แก้โจทย์ ∫ (8x+2)^3 wrt x

$$\int ( 8 x + 2 ) ^ { 3 } d x$$

หาค่า

$$\frac{\left(4x+1\right)^{4}}{2}+С$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} เพื่อขยาย \left(8x+2\right)^{3}

$$\int 512x^{3}+384x^{2}+96x+8\mathrm{d}x$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int 512x^{3}\mathrm{d}x+\int 384x^{2}\mathrm{d}x+\int 96x\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$512\int x^{3}\mathrm{d}x+384\int x^{2}\mathrm{d}x+96\int x\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{3}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{4}}{4} คูณ 512 ด้วย \frac{x^{4}}{4}

$$128x^{4}+384\int x^{2}\mathrm{d}x+96\int x\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{2}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{3}}{3} คูณ 384 ด้วย \frac{x^{3}}{3}

$$128x^{4}+128x^{3}+96\int x\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{2}}{2} คูณ 96 ด้วย \frac{x^{2}}{2}

$$128x^{4}+128x^{3}+48x^{2}+\int 8\mathrm{d}x$$

ค้นหาอินทิกรัลของ 8 โดยใช้ \int a\mathrm{d}x=ax ของกฎอินทิกรัลทั่วไป

$$128x^{4}+128x^{3}+48x^{2}+8x$$

ถ้า F\left(x\right) เป็น antiderivative ของ f\left(x\right) จากนั้นชุดของ f\left(x\right) antiderivatives ทั้งหมดที่ได้รับมาจาก F\left(x\right)+C ดังนั้นให้เพิ่มค่าคงที่ของการรวม C\in \mathrm{R} ลงในผลลัพธ์

$$128x^{4}+128x^{3}+48x^{2}+8x+С$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. x

$$8\left(4x+1\right)^{3}$$