แก้โจทย์ 2x/x^2+4-1

$$\frac{ 2x }{ { x }^{ 2 } +4 } -1$$

หาค่า

$$\frac{-x^{2}+2x-4}{x^{2}+4}$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลยสั้นๆ

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน คูณ 1 ด้วย \frac{x^{2}+4}{x^{2}+4}

$$\frac{2x}{x^{2}+4}-\frac{x^{2}+4}{x^{2}+4}$$

เนื่องจาก \frac{2x}{x^{2}+4} และ \frac{x^{2}+4}{x^{2}+4} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้ลบโดยการลบตัวเศษ

$$\frac{2x-\left(x^{2}+4\right)}{x^{2}+4}$$

ทำการคูณใน 2x-\left(x^{2}+4\right)

$$\frac{2x-x^{2}-4}{x^{2}+4}$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. x

$$\frac{2\left(4-x^{2}\right)}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}$$

ขั้นตอนที่ใช้กฎจากการพัฒนาสำหรับผลหาร

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน คูณ 1 ด้วย \frac{x^{2}+4}{x^{2}+4}

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x}{x^{2}+4}-\frac{x^{2}+4}{x^{2}+4})$$

เนื่องจาก \frac{2x}{x^{2}+4} และ \frac{x^{2}+4}{x^{2}+4} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้ลบโดยการลบตัวเศษ

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x-\left(x^{2}+4\right)}{x^{2}+4})$$

ทำการคูณใน 2x-\left(x^{2}+4\right)

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x-x^{2}-4}{x^{2}+4})$$

สำหรับสองฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ อนุพันธ์ของผลหารของทั้งสองฟังก์ชันคือ ตัวส่วนคูณด้วยอนุพันธ์ของตัวเศษลบด้วยตัวเศษคูณด้วยอนุพันธ์ของตัวส่วน ทั้งหมดถูกหารด้วยตัวส่วนที่ยกกำลังสองแล้ว

$$\frac{\left(x^{2}+4\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{1}-x^{2}-4)-\left(2x^{1}-x^{2}-4\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}+4)}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}$$

อนุพันธ์ของพหุนามเป็นผลรวมของอนุพันธ์ของพจน์ในพหุนามนั้น อนุพันธ์ของพจน์คงตัวใดๆ คือ 0 อนุพันธ์ของ ax^{n} คือ nax^{n-1}

$$\frac{\left(x^{2}+4\right)\left(2x^{1-1}+2\left(-1\right)x^{2-1}\right)-\left(2x^{1}-x^{2}-4\right)\times 2x^{2-1}}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{\left(x^{2}+4\right)\left(2x^{0}-2x^{1}\right)-\left(2x^{1}-x^{2}-4\right)\times 2x^{1}}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}$$

คูณ x^{2}+4 ด้วย 2x^{0}-2x^{1}

$$\frac{x^{2}\times 2x^{0}+x^{2}\left(-2\right)x^{1}+4\times 2x^{0}+4\left(-2\right)x^{1}-\left(2x^{1}-x^{2}-4\right)\times 2x^{1}}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}$$

คูณ 2x^{1}-x^{2}-4 ด้วย 2x^{1}

$$\frac{x^{2}\times 2x^{0}+x^{2}\left(-2\right)x^{1}+4\times 2x^{0}+4\left(-2\right)x^{1}-\left(2x^{1}\times 2x^{1}-x^{2}\times 2x^{1}-4\times 2x^{1}\right)}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}$$

เมื่อต้องการคูณเลขยกกำลังของฐานเดียวกัน เพิ่มเลขชี้กำลังของจำนวนเหล่านั้น

$$\frac{2x^{2}-2x^{2+1}+4\times 2x^{0}+4\left(-2\right)x^{1}-\left(2\times 2x^{1+1}-2x^{2+1}-4\times 2x^{1}\right)}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{2x^{2}-2x^{3}+8x^{0}-8x^{1}-\left(4x^{2}-2x^{3}-8x^{1}\right)}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}$$

รวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$\frac{-10x^{2}+16x^{0}}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}$$

สำหรับพจน์ใดๆ ที่ t ยกเว้น 0 ให้ t^{0}=1

$$\frac{-10x^{2}+16\times 1}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}$$

สำหรับพจน์ใดๆ ที่ t ให้ t\times 1=t และ 1t=t

$$\frac{-10x^{2}+16}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}$$