แก้โจทย์ x^3-1/(x-1)^2-x^3+1/(x+1)^2=6

$$\frac { x ^ { 3 } - 1 } { ( x - 1 ) ^ { 2 } } - \frac { x ^ { 3 } + 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } = 6$$

หาค่า x

$$x=2$$

$$x=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับค่า -1,1 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย \left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2} ตัวคูณร่วมน้อยของ \left(x-1\right)^{2},\left(x+1\right)^{2}

$$\left(x+1\right)^{2}\left(x^{3}-1\right)-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x+1\right)^{2}

$$\left(x^{2}+2x+1\right)\left(x^{3}-1\right)-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x^{2}+2x+1 ด้วย x^{3}-1

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x-1\right)^{2}

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x^{2}-2x+1 ด้วย x^{3}+1

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x^{5}+x^{2}-2x^{4}-2x+x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ x^{5}+x^{2}-2x^{4}-2x+x^{3}+1 ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-x^{5}-x^{2}+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

รวม x^{5} และ -x^{5} เพื่อให้ได้รับ 0

$$-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-x^{2}+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

รวม -x^{2} และ -x^{2} เพื่อให้ได้รับ -2x^{2}

$$-2x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

รวม 2x^{4} และ 2x^{4} เพื่อให้ได้รับ 4x^{4}

$$-2x^{2}+4x^{4}-2x+x^{3}-1+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

รวม -2x และ 2x เพื่อให้ได้รับ 0

$$-2x^{2}+4x^{4}+x^{3}-1-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

รวม x^{3} และ -x^{3} เพื่อให้ได้รับ 0

$$-2x^{2}+4x^{4}-1-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

ลบ 1 จาก -1 เพื่อรับ -2

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x-1\right)^{2}

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x+1\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x+1\right)^{2}

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 6 ด้วย x^{2}-2x+1

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=\left(6x^{2}-12x+6\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 6x^{2}-12x+6 ด้วย x^{2}+2x+1 และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6x^{4}-12x^{2}+6$$

ลบ 6x^{4} จากทั้งสองด้าน

$$-2x^{2}+4x^{4}-2-6x^{4}=-12x^{2}+6$$

รวม 4x^{4} และ -6x^{4} เพื่อให้ได้รับ -2x^{4}

$$-2x^{2}-2x^{4}-2=-12x^{2}+6$$

เพิ่ม 12x^{2} ไปทั้งสองด้าน

$$-2x^{2}-2x^{4}-2+12x^{2}=6$$

รวม -2x^{2} และ 12x^{2} เพื่อให้ได้รับ 10x^{2}

$$10x^{2}-2x^{4}-2=6$$

ลบ 6 จากทั้งสองด้าน

$$10x^{2}-2x^{4}-2-6=0$$

ลบ 6 จาก -2 เพื่อรับ -8

$$10x^{2}-2x^{4}-8=0$$

แทนค่า t สำหรับ x^{2}

$$-2t^{2}+10t-8=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน -2 สำหรับ a 10 สำหรับ b และ -8 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$t=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-2\right)\left(-8\right)}}{-2\times 2}$$

ทำการคำนวณ

$$t=\frac{-10±6}{-4}$$

แก้สมการ t=\frac{-10±6}{-4} เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$t=1 t=4$$

เนื่องจาก x=t^{2} ได้ผลเฉลยโดยการหาค่า x=±\sqrt{t} สำหรับแต่ละ t

$$x=1 x=-1 x=2 x=-2$$

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับค่า 1,-1

$$x=-2 x=2$$