แก้โจทย์ 3/sqrt{5+sqrt{2}}+1/3+sqrt{8}

$$\frac { 3 } { \sqrt { 5 } + \sqrt { 2 } } + \frac { 1 } { 3 + \sqrt { 8 } }$$

หาค่า

$$\sqrt{5}+3-3\sqrt{2}\approx 0.99342729$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ทำตัวส่วนของ \frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} ด้วยการคูณเศษและตัวส่วนด้วย \sqrt{5}-\sqrt{2}

$$\frac{3\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{3+\sqrt{8}}$$

พิจารณา \left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$\frac{3\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}+\frac{1}{3+\sqrt{8}}$$

ยกกำลังสอง \sqrt{5} ยกกำลังสอง \sqrt{2}

$$\frac{3\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{5-2}+\frac{1}{3+\sqrt{8}}$$

ลบ 2 จาก 5 เพื่อรับ 3

$$\frac{3\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{3}+\frac{1}{3+\sqrt{8}}$$

ตัด 3 และ 3

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+\frac{1}{3+\sqrt{8}}$$

แยกตัวประกอบ 8=2^{2}\times 2 เขียนรากที่สองของผลิตภัณฑ์ \sqrt{2^{2}\times 2} เป็นผลคูณของตารางรากที่มีการ \sqrt{2^{2}}\sqrt{2} หารากที่สองของ 2^{2}

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$$

ทำตัวส่วนของ \frac{1}{3+2\sqrt{2}} ด้วยการคูณเศษและตัวส่วนด้วย 3-2\sqrt{2}

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+\frac{3-2\sqrt{2}}{\left(3+2\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)}$$

พิจารณา \left(3+2\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+\frac{3-2\sqrt{2}}{3^{2}-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}$$

คำนวณ 3 กำลังของ 2 และรับ 9

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+\frac{3-2\sqrt{2}}{9-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}$$

ขยาย \left(2\sqrt{2}\right)^{2}

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+\frac{3-2\sqrt{2}}{9-2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

คำนวณ 2 กำลังของ 2 และรับ 4

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+\frac{3-2\sqrt{2}}{9-4\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

รากที่สองของ \sqrt{2} คือ 2

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+\frac{3-2\sqrt{2}}{9-4\times 2}$$

คูณ 4 และ 2 เพื่อรับ 8

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+\frac{3-2\sqrt{2}}{9-8}$$

ลบ 8 จาก 9 เพื่อรับ 1

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+\frac{3-2\sqrt{2}}{1}$$

สิ่งใดก็ตามที่หารด้วยหนึ่งจะได้ตัวเอง

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+3-2\sqrt{2}$$

รวม -\sqrt{2} และ -2\sqrt{2} เพื่อให้ได้รับ -3\sqrt{2}

$$\sqrt{5}-3\sqrt{2}+3$$