แก้โจทย์ 1/n-1/n+1

$$\frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n + 1 }$$

หาค่า

$$\frac{1}{n\left(n+1\right)}$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลยสั้นๆ

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน ตัวคูณร่วมน้อยของ n และ n+1 คือ n\left(n+1\right) คูณ \frac{1}{n} ด้วย \frac{n+1}{n+1} คูณ \frac{1}{n+1} ด้วย \frac{n}{n}

$$\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\left(n+1\right)}$$

เนื่องจาก \frac{n+1}{n\left(n+1\right)} และ \frac{n}{n\left(n+1\right)} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้ลบโดยการลบตัวเศษ

$$\frac{n+1-n}{n\left(n+1\right)}$$

รวมพจน์ที่เหมือนกันใน n+1-n

$$\frac{1}{n\left(n+1\right)}$$

ขยาย n\left(n+1\right)

$$\frac{1}{n^{2}+n}$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. n

$$-\frac{2n+1}{\left(n\left(n+1\right)\right)^{2}}$$

ขั้นตอนที่ใช้กฎลูกโซ่

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน ตัวคูณร่วมน้อยของ n และ n+1 คือ n\left(n+1\right) คูณ \frac{1}{n} ด้วย \frac{n+1}{n+1} คูณ \frac{1}{n+1} ด้วย \frac{n}{n}

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\left(n+1\right)})$$

เนื่องจาก \frac{n+1}{n\left(n+1\right)} และ \frac{n}{n\left(n+1\right)} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้ลบโดยการลบตัวเศษ

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{n+1-n}{n\left(n+1\right)})$$

รวมพจน์ที่เหมือนกันใน n+1-n

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{1}{n\left(n+1\right)})$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ n ด้วย n+1

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{1}{n^{2}+n})$$

ถ้า F เป็นส่วนประกอบของสองฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ f\left(u\right) และ u=g\left(x\right) นั่นคือ ถ้า F\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right) ดังนั้น อนุพันธ์ของ F คืออนุพันธ์ของ f ที่สอดคล้องกับ u คูณด้วยอนุพันธ์ของ g ที่สอดคล้องกับ x นั่นคือ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(F)\left(x\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)\left(g\left(x\right)\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(g)\left(x\right)

$$-\left(n^{2}+n^{1}\right)^{-1-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(n^{2}+n^{1})$$

อนุพันธ์ของพหุนามเป็นผลรวมของอนุพันธ์ของพจน์ในพหุนามนั้น อนุพันธ์ของพจน์คงตัวใดๆ คือ 0 อนุพันธ์ของ ax^{n} คือ nax^{n-1}

$$-\left(n^{2}+n^{1}\right)^{-2}\left(2n^{2-1}+n^{1-1}\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\left(n^{2}+n^{1}\right)^{-2}\left(-2n^{1}-n^{0}\right)$$

สำหรับพจน์ใดๆ ที่ t ให้ t^{1}=t

$$\left(n^{2}+n\right)^{-2}\left(-2n-n^{0}\right)$$

สำหรับพจน์ใดๆ ที่ t ยกเว้น 0 ให้ t^{0}=1

$$\left(n^{2}+n\right)^{-2}\left(-2n-1\right)$$