แก้โจทย์ =frac{sqrt{5}+sqrt{3}}{sqrt{5}-sqrt{3}}+frac{sqrt{5}-sqrt{3}}{sqrt{5}+sqrt{3}}

$$= \frac { \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } } { \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } } + \frac { \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } } { \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } }$$

หาค่า

$$8$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ทำตัวส่วนของ \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} ด้วยการคูณเศษและตัวส่วนด้วย \sqrt{5}+\sqrt{3}

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

พิจารณา \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

ยกกำลังสอง \sqrt{5} ยกกำลังสอง \sqrt{3}

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{5-3}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

ลบ 3 จาก 5 เพื่อรับ 2

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

คูณ \sqrt{5}+\sqrt{3} และ \sqrt{5}+\sqrt{3} เพื่อรับ \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}

$$\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

รากที่สองของ \sqrt{5} คือ 5

$$\frac{5+2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

เมื่อต้องการคูณ \sqrt{5} และ \sqrt{3} ให้คูณตัวเลขภายใต้รากที่สอง

$$\frac{5+2\sqrt{15}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

รากที่สองของ \sqrt{3} คือ 3

$$\frac{5+2\sqrt{15}+3}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

เพิ่ม 5 และ 3 เพื่อให้ได้รับ 8

$$\frac{8+2\sqrt{15}}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

หารแต่ละพจน์ของ 8+2\sqrt{15} ด้วย 2 ให้ได้ 4+\sqrt{15}

$$4+\sqrt{15}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

ทำตัวส่วนของ \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} ด้วยการคูณเศษและตัวส่วนด้วย \sqrt{5}-\sqrt{3}

$$4+\sqrt{15}+\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}$$

พิจารณา \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$4+\sqrt{15}+\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

ยกกำลังสอง \sqrt{5} ยกกำลังสอง \sqrt{3}

$$4+\sqrt{15}+\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{5-3}$$

ลบ 3 จาก 5 เพื่อรับ 2

$$4+\sqrt{15}+\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{2}$$

คูณ \sqrt{5}-\sqrt{3} และ \sqrt{5}-\sqrt{3} เพื่อรับ \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}

$$4+\sqrt{15}+\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}

$$4+\sqrt{15}+\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}$$

รากที่สองของ \sqrt{5} คือ 5

$$4+\sqrt{15}+\frac{5-2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}$$

เมื่อต้องการคูณ \sqrt{5} และ \sqrt{3} ให้คูณตัวเลขภายใต้รากที่สอง

$$4+\sqrt{15}+\frac{5-2\sqrt{15}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}$$

รากที่สองของ \sqrt{3} คือ 3

$$4+\sqrt{15}+\frac{5-2\sqrt{15}+3}{2}$$

เพิ่ม 5 และ 3 เพื่อให้ได้รับ 8

$$4+\sqrt{15}+\frac{8-2\sqrt{15}}{2}$$

หารแต่ละพจน์ของ 8-2\sqrt{15} ด้วย 2 ให้ได้ 4-\sqrt{15}

$$4+\sqrt{15}+4-\sqrt{15}$$

เพิ่ม 4 และ 4 เพื่อให้ได้รับ 8

$$8+\sqrt{15}-\sqrt{15}$$

รวม \sqrt{15} และ -\sqrt{15} เพื่อให้ได้รับ 0

$$8$$

แยกตัวประกอบ

$$2^{3}$$