z^2-4z-32=0 పరిష్కరించండి

$$z ^ { 2 } - 4 z - 32 = 0$$

zని పరిష్కరించండి

$$z=-4$$

$$z=8$$

ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, z^{2}+\left(a+b\right)z+ab=\left(z+a\right)\left(z+b\right) సూత్రాన్ని ఉపయోగించి z^{2}-4z-32ని ఫ్యాక్టర్ చేయండి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-4 ab=-32$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -32ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-32 2,-16 4,-8$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-32=-31 2-16=-14 4-8=-4$$

సమ్ -4ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-8 b=4$$

పొందిన విలువలను ఉపయోగించి ఫ్యాక్టర్ చేసిన సమీకరణం \left(z+a\right)\left(z+b\right)ను తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(z-8\right)\left(z+4\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, z-8=0 మరియు z+4=0ని పరిష్కరించండి.

$$z=8 z=-4$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును z^{2}+az+bz-32 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-4 ab=1\left(-32\right)=-32$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -32ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-32 2,-16 4,-8$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-32=-31 2-16=-14 4-8=-4$$

సమ్ -4ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-8 b=4$$

\left(z^{2}-8z\right)+\left(4z-32\right)ని z^{2}-4z-32 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(z^{2}-8z\right)+\left(4z-32\right)$$

మొదటి సమూహంలో z మరియు రెండవ సమూహంలో 4 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$z\left(z-8\right)+4\left(z-8\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ z-8ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(z-8\right)\left(z+4\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, z-8=0 మరియు z+4=0ని పరిష్కరించండి.

$$z=8 z=-4$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$z^{2}-4z-32=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 1, b స్థానంలో -4 మరియు c స్థానంలో -32 ప్రతిక్షేపించండి.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-32\right)}}{2}$$

-4 వర్గము.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-32\right)}}{2}$$

-4 సార్లు -32ని గుణించండి.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+128}}{2}$$

128కు 16ని కూడండి.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{144}}{2}$$

144 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±12}{2}$$

-4 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 4.

$$z=\frac{4±12}{2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి z=\frac{4±12}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 12కు 4ని కూడండి.

$$z=\frac{16}{2}$$

2తో 16ని భాగించండి.

$$z=8$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి z=\frac{4±12}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 12ని 4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$z=-\frac{8}{2}$$

2తో -8ని భాగించండి.

$$z=-4$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$z=8 z=-4$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$z^{2}-4z-32=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 32ని కూడండి.

$$z^{2}-4z-32-\left(-32\right)=-\left(-32\right)$$

-32ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$z^{2}-4z=-\left(-32\right)$$

-32ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$z^{2}-4z=32$$

x రాశి యొక్క గుణకము -4ని 2తో భాగించి -2ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -2 యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$z^{2}-4z+\left(-2\right)^{2}=32+\left(-2\right)^{2}$$

-2 వర్గము.

$$z^{2}-4z+4=32+4$$

4కు 32ని కూడండి.

$$z^{2}-4z+4=36$$

కారకం z^{2}-4z+4. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(z-2\right)^{2}=36$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(z-2\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$z-2=6 z-2=-6$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2ని కూడండి.

$$z=8 z=-4$$