t^2:2^4-6t-2^8=0 పరిష్కరించండి

$$t ^ { 2 } : 2 ^ { 4 } - 6 t - 2 ^ { 8 } = 0$$

tని పరిష్కరించండి

$$t=-32$$

$$t=128$$

ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

4 యొక్క ఘాతంలో 2 ఉంచి గణించి, 16ని పొందండి.

$$\frac{t^{2}}{16}-6t-2^{8}=0$$

8 యొక్క ఘాతంలో 2 ఉంచి గణించి, 256ని పొందండి.

$$\frac{t^{2}}{16}-6t-256=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 16తో గుణించండి.

$$t^{2}-96t-4096=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right) సూత్రాన్ని ఉపయోగించి t^{2}-96t-4096ని ఫ్యాక్టర్ చేయండి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-96 ab=-4096$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -4096ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-4096 2,-2048 4,-1024 8,-512 16,-256 32,-128 64,-64$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-4096=-4095 2-2048=-2046 4-1024=-1020 8-512=-504 16-256=-240 32-128=-96 64-64=0$$

సమ్ -96ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-128 b=32$$

పొందిన విలువలను ఉపయోగించి ఫ్యాక్టర్ చేసిన సమీకరణం \left(t+a\right)\left(t+b\right)ను తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(t-128\right)\left(t+32\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, t-128=0 మరియు t+32=0ని పరిష్కరించండి.

$$t=128 t=-32$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

4 యొక్క ఘాతంలో 2 ఉంచి గణించి, 16ని పొందండి.

$$\frac{t^{2}}{16}-6t-2^{8}=0$$

8 యొక్క ఘాతంలో 2 ఉంచి గణించి, 256ని పొందండి.

$$\frac{t^{2}}{16}-6t-256=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 16తో గుణించండి.

$$t^{2}-96t-4096=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును t^{2}+at+bt-4096 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-96 ab=1\left(-4096\right)=-4096$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -4096ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-4096 2,-2048 4,-1024 8,-512 16,-256 32,-128 64,-64$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-4096=-4095 2-2048=-2046 4-1024=-1020 8-512=-504 16-256=-240 32-128=-96 64-64=0$$

సమ్ -96ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-128 b=32$$

\left(t^{2}-128t\right)+\left(32t-4096\right)ని t^{2}-96t-4096 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(t^{2}-128t\right)+\left(32t-4096\right)$$

మొదటి సమూహంలో t మరియు రెండవ సమూహంలో 32 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$t\left(t-128\right)+32\left(t-128\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ t-128ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(t-128\right)\left(t+32\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, t-128=0 మరియు t+32=0ని పరిష్కరించండి.

$$t=128 t=-32$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

4 యొక్క ఘాతంలో 2 ఉంచి గణించి, 16ని పొందండి.

$$\frac{t^{2}}{16}-6t-2^{8}=0$$

8 యొక్క ఘాతంలో 2 ఉంచి గణించి, 256ని పొందండి.

$$\frac{t^{2}}{16}-6t-256=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 16తో గుణించండి.

$$t^{2}-96t-4096=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 1, b స్థానంలో -96 మరియు c స్థానంలో -4096 ప్రతిక్షేపించండి.

$$t=\frac{-\left(-96\right)±\sqrt{\left(-96\right)^{2}-4\left(-4096\right)}}{2}$$

-96 వర్గము.

$$t=\frac{-\left(-96\right)±\sqrt{9216-4\left(-4096\right)}}{2}$$

-4 సార్లు -4096ని గుణించండి.

$$t=\frac{-\left(-96\right)±\sqrt{9216+16384}}{2}$$

16384కు 9216ని కూడండి.

$$t=\frac{-\left(-96\right)±\sqrt{25600}}{2}$$

25600 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$t=\frac{-\left(-96\right)±160}{2}$$

-96 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 96.

$$t=\frac{96±160}{2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి t=\frac{96±160}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 160కు 96ని కూడండి.

$$t=\frac{256}{2}$$

2తో 256ని భాగించండి.

$$t=128$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి t=\frac{96±160}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 160ని 96 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$t=-\frac{64}{2}$$

2తో -64ని భాగించండి.

$$t=-32$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$t=128 t=-32$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

4 యొక్క ఘాతంలో 2 ఉంచి గణించి, 16ని పొందండి.

$$\frac{t^{2}}{16}-6t-2^{8}=0$$

8 యొక్క ఘాతంలో 2 ఉంచి గణించి, 256ని పొందండి.

$$\frac{t^{2}}{16}-6t-256=0$$

రెండు వైపులా 256ని జోడించండి. సున్నాతో ఏ సంఖ్యను కూడినా అదే సంఖ్య వస్తుంది.

$$\frac{t^{2}}{16}-6t=256$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 16తో గుణించండి.

$$t^{2}-96t=4096$$

x రాశి యొక్క గుణకము -96ని 2తో భాగించి -48ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -48 యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$t^{2}-96t+\left(-48\right)^{2}=4096+\left(-48\right)^{2}$$

-48 వర్గము.

$$t^{2}-96t+2304=4096+2304$$

2304కు 4096ని కూడండి.

$$t^{2}-96t+2304=6400$$

కారకం t^{2}-96t+2304. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(t-48\right)^{2}=6400$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(t-48\right)^{2}}=\sqrt{6400}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$t-48=80 t-48=-80$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 48ని కూడండి.

$$t=128 t=-32$$