9x^2+7x+9=25 పరిష్కరించండి

$$9 x ^ { 2 } + 7 x + 9 = 25$$

xని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{16}{9} = -1\frac{7}{9} \approx -1.777777778$$

$$x=1$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

రెండు భాగాల నుండి 25ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

-16ని పొందడం కోసం 25ని 9 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 9x^{2}+ax+bx-16 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=7 ab=9\left(-16\right)=-144$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -144ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

సమ్ 7ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-9 b=16$$

\left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right)ని 9x^{2}+7x-16 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right)$$

మొదటి సమూహంలో 9x మరియు రెండవ సమూహంలో 16 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$9x\left(x-1\right)+16\left(x-1\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-1ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-1\right)\left(9x+16\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-1=0 మరియు 9x+16=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 25ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$9x^{2}+7x+9-25=25-25$$

25ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

25ని 9 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 9, b స్థానంలో 7 మరియు c స్థానంలో -16 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

7 వర్గము.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

-4 సార్లు 9ని గుణించండి.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-36\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

-36 సార్లు -16ని గుణించండి.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+576}}{2\times 9}$$

576కు 49ని కూడండి.

$$x=\frac{-7±\sqrt{625}}{2\times 9}$$

625 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-7±25}{2\times 9}$$

2 సార్లు 9ని గుణించండి.

$$x=\frac{-7±25}{18}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-7±25}{18} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 25కు -7ని కూడండి.

$$x=\frac{18}{18}$$

18తో 18ని భాగించండి.

$$x=1$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-7±25}{18} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 25ని -7 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{32}{18}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-32}{18} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{16}{9}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 9ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$9x^{2}+7x+9-9=25-9$$

9ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$9x^{2}+7x=25-9$$

9ని 25 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$9x^{2}+7x=16$$

రెండు వైపులా 9తో భాగించండి.

$$\frac{9x^{2}+7x}{9}=\frac{16}{9}$$

9తో భాగించడం ద్వారా 9 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x=\frac{16}{9}$$

x రాశి యొక్క గుణకము \frac{7}{9}ని 2తో భాగించి \frac{7}{18}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{7}{18} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{16}{9}+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{7}{18}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{16}{9}+\frac{49}{324}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{49}{324}కు \frac{16}{9}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{625}{324}$$

కారకం x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{625}{324}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{324}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+\frac{7}{18}=\frac{25}{18} x+\frac{7}{18}=-\frac{25}{18}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{7}{18}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$