9y^2-23y+14 పరిష్కరించండి

$$9 { y }^{ 2 } -23y+14$$

లబ్ధమూలము

$$\left(y-1\right)\left(9y-14\right)$$

పరిష్కారం దశలు

గ్రూప్ చేయడం ద్వారా సమీకరణాన్ని ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, సమీకరణాన్ని 9y^{2}+ay+by+14 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-23 ab=9\times 14=126$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ నెగిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 126ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,-126 -2,-63 -3,-42 -6,-21 -7,-18 -9,-14$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1-126=-127 -2-63=-65 -3-42=-45 -6-21=-27 -7-18=-25 -9-14=-23$$

సమ్ -23ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-14 b=-9$$

\left(9y^{2}-14y\right)+\left(-9y+14\right)ని 9y^{2}-23y+14 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(9y^{2}-14y\right)+\left(-9y+14\right)$$

మొదటి సమూహంలో y మరియు రెండవ సమూహంలో -1 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$y\left(9y-14\right)-\left(9y-14\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 9y-14ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(9y-14\right)\left(y-1\right)$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) పరివర్తనం ఉపయోగించి క్వాడ్రాటిక్ పాలీనామియల్‌ ఏర్పడవచ్చు, ఇక్కడ x_{1} మరియు x_{2} అనేవి వర్గ సమీకరణం ax^{2}+bx+c=0 సాధనలు.

$$9y^{2}-23y+14=0$$

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$y=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 9\times 14}}{2\times 9}$$

-23 వర్గము.

$$y=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 9\times 14}}{2\times 9}$$

-4 సార్లు 9ని గుణించండి.

$$y=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-36\times 14}}{2\times 9}$$

-36 సార్లు 14ని గుణించండి.

$$y=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-504}}{2\times 9}$$

-504కు 529ని కూడండి.

$$y=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{25}}{2\times 9}$$

25 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$y=\frac{-\left(-23\right)±5}{2\times 9}$$

-23 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 23.

$$y=\frac{23±5}{2\times 9}$$

2 సార్లు 9ని గుణించండి.

$$y=\frac{23±5}{18}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి y=\frac{23±5}{18} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 5కు 23ని కూడండి.

$$y=\frac{28}{18}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{28}{18} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$y=\frac{14}{9}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి y=\frac{23±5}{18} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 5ని 23 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=\frac{18}{18}$$

18తో 18ని భాగించండి.

$$y=1$$

ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) ఉపయోగించి అసలు సూత్రీకరణను కారణాంకం వ్రాయండి. x_{1} కోసం \frac{14}{9}ని మరియు x_{2} కోసం 1ని ప్రతిక్షేపించండి.

$$9y^{2}-23y+14=9\left(y-\frac{14}{9}\right)\left(y-1\right)$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొని, లవములను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా \frac{14}{9}ని y నుండి వ్యవకలనం చేయండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$9y^{2}-23y+14=9\times \frac{9y-14}{9}\left(y-1\right)$$

9 మరియు 9లో అతిపెద్ద ఉమ్మడి కారకము 9ను తీసివేయండి.

$$9y^{2}-23y+14=\left(9y-14\right)\left(y-1\right)$$

మూల్యాంకనం చేయండి

$$\left(y-1\right)\left(9y-14\right)$$