9x^2+6x+3=0 పరిష్కరించండి

$$9 { x }^{ 2 } +6x+3 = 0$$

xని పరిష్కరించండి (సంకీర్ణ పరిష్కారం)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0.333333333+0.471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0.333333333-0.471404521i$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$9x^{2}+6x+3=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 9, b స్థానంలో 6 మరియు c స్థానంలో 3 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\times 3}}{2\times 9}$$

6 వర్గము.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\times 3}}{2\times 9}$$

-4 సార్లు 9ని గుణించండి.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36\times 3}}{2\times 9}$$

-36 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-108}}{2\times 9}$$

-108కు 36ని కూడండి.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-72}}{2\times 9}$$

-72 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-6±6\sqrt{2}i}{2\times 9}$$

2 సార్లు 9ని గుణించండి.

$$x=\frac{-6±6\sqrt{2}i}{18}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-6±6\sqrt{2}i}{18} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 6i\sqrt{2}కు -6ని కూడండి.

$$x=\frac{-6+6\sqrt{2}i}{18}$$

18తో -6+6i\sqrt{2}ని భాగించండి.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-6±6\sqrt{2}i}{18} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 6i\sqrt{2}ని -6 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{-6\sqrt{2}i-6}{18}$$

18తో -6-6i\sqrt{2}ని భాగించండి.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$9x^{2}+6x+3=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$9x^{2}+6x+3-3=-3$$

3ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$9x^{2}+6x=-3$$

రెండు వైపులా 9తో భాగించండి.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=-\frac{3}{9}$$

9తో భాగించడం ద్వారా 9 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=-\frac{3}{9}$$

3ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{6}{9} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{3}{9}$$

3ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-3}{9} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

x రాశి యొక్క గుణకము \frac{2}{3}ని 2తో భాగించి \frac{1}{3}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{1}{3} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{1}{3}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{1}{9}కు -\frac{1}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

కారకం x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{1}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$