8x^2-12x-11=0 పరిష్కరించండి

$$8 x ^ { 2 } - 12 x - 11 = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{\sqrt{31} + 3}{4} \approx 2.141941091$$

$$x=\frac{3-\sqrt{31}}{4}\approx -0.641941091$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$8x^{2}-12x-11=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 8, b స్థానంలో -12 మరియు c స్థానంలో -11 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 8\left(-11\right)}}{2\times 8}$$

-12 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 8\left(-11\right)}}{2\times 8}$$

-4 సార్లు 8ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-32\left(-11\right)}}{2\times 8}$$

-32 సార్లు -11ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+352}}{2\times 8}$$

352కు 144ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{496}}{2\times 8}$$

496 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{31}}{2\times 8}$$

-12 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{31}}{2\times 8}$$

2 సార్లు 8ని గుణించండి.

$$x=\frac{12±4\sqrt{31}}{16}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{12±4\sqrt{31}}{16} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 4\sqrt{31}కు 12ని కూడండి.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+12}{16}$$

16తో 12+4\sqrt{31}ని భాగించండి.

$$x=\frac{\sqrt{31}+3}{4}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{12±4\sqrt{31}}{16} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 4\sqrt{31}ని 12 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{12-4\sqrt{31}}{16}$$

16తో 12-4\sqrt{31}ని భాగించండి.

$$x=\frac{3-\sqrt{31}}{4}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{\sqrt{31}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{31}}{4}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$8x^{2}-12x-11=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 11ని కూడండి.

$$8x^{2}-12x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

-11ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$8x^{2}-12x=-\left(-11\right)$$

-11ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$8x^{2}-12x=11$$

రెండు వైపులా 8తో భాగించండి.

$$\frac{8x^{2}-12x}{8}=\frac{11}{8}$$

8తో భాగించడం ద్వారా 8 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{8}\right)x=\frac{11}{8}$$

4ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-12}{8} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{11}{8}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{3}{2}ని 2తో భాగించి -\frac{3}{4}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{3}{4} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{11}{8}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{3}{4}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{11}{8}+\frac{9}{16}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{9}{16}కు \frac{11}{8}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{31}{16}$$

కారకం x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{31}{16}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{16}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{31}}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{31}}{4}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{3}{4}ని కూడండి.

$$x=\frac{\sqrt{31}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{31}}{4}$$