8x^2+72x+108=0 పరిష్కరించండి

$$8 x ^ { 2 } + 72 x + 108 = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{3\sqrt{3}-9}{2}\approx -1.901923789$$

$$x=\frac{-3\sqrt{3}-9}{2}\approx -7.098076211$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$8x^{2}+72x+108=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 8, b స్థానంలో 72 మరియు c స్థానంలో 108 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-72±\sqrt{72^{2}-4\times 8\times 108}}{2\times 8}$$

72 వర్గము.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184-4\times 8\times 108}}{2\times 8}$$

-4 సార్లు 8ని గుణించండి.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184-32\times 108}}{2\times 8}$$

-32 సార్లు 108ని గుణించండి.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184-3456}}{2\times 8}$$

-3456కు 5184ని కూడండి.

$$x=\frac{-72±\sqrt{1728}}{2\times 8}$$

1728 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-72±24\sqrt{3}}{2\times 8}$$

2 సార్లు 8ని గుణించండి.

$$x=\frac{-72±24\sqrt{3}}{16}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-72±24\sqrt{3}}{16} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 24\sqrt{3}కు -72ని కూడండి.

$$x=\frac{24\sqrt{3}-72}{16}$$

16తో -72+24\sqrt{3}ని భాగించండి.

$$x=\frac{3\sqrt{3}-9}{2}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-72±24\sqrt{3}}{16} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 24\sqrt{3}ని -72 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{-24\sqrt{3}-72}{16}$$

16తో -72-24\sqrt{3}ని భాగించండి.

$$x=\frac{-3\sqrt{3}-9}{2}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{3\sqrt{3}-9}{2} x=\frac{-3\sqrt{3}-9}{2}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$8x^{2}+72x+108=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 108ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$8x^{2}+72x+108-108=-108$$

108ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$8x^{2}+72x=-108$$

రెండు వైపులా 8తో భాగించండి.

$$\frac{8x^{2}+72x}{8}=-\frac{108}{8}$$

8తో భాగించడం ద్వారా 8 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{72}{8}x=-\frac{108}{8}$$

8తో 72ని భాగించండి.

$$x^{2}+9x=-\frac{108}{8}$$

4ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-108}{8} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x^{2}+9x=-\frac{27}{2}$$

x రాశి యొక్క గుణకము 9ని 2తో భాగించి \frac{9}{2}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{9}{2} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+9x+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=-\frac{27}{2}+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{9}{2}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}+9x+\frac{81}{4}=-\frac{27}{2}+\frac{81}{4}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{81}{4}కు -\frac{27}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}+9x+\frac{81}{4}=\frac{27}{4}$$

కారకం x^{2}+9x+\frac{81}{4}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x+\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{4}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+\frac{9}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2} x+\frac{9}{2}=-\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{9}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{3\sqrt{3}-9}{2} x=\frac{-3\sqrt{3}-9}{2}$$