8x^2+2x=21 పరిష్కరించండి

$$8 x ^ { 2 } + 2 x = 21$$

xని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

రెండు భాగాల నుండి 21ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$8x^{2}+2x-21=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 8x^{2}+ax+bx-21 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=2 ab=8\left(-21\right)=-168$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -168ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,168 -2,84 -3,56 -4,42 -6,28 -7,24 -8,21 -12,14$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+168=167 -2+84=82 -3+56=53 -4+42=38 -6+28=22 -7+24=17 -8+21=13 -12+14=2$$

సమ్ 2ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-12 b=14$$

\left(8x^{2}-12x\right)+\left(14x-21\right)ని 8x^{2}+2x-21 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(8x^{2}-12x\right)+\left(14x-21\right)$$

మొదటి సమూహంలో 4x మరియు రెండవ సమూహంలో 7 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$4x\left(2x-3\right)+7\left(2x-3\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 2x-3ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(2x-3\right)\left(4x+7\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 2x-3=0 మరియు 4x+7=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$8x^{2}+2x=21$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 21ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$8x^{2}+2x-21=21-21$$

21ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$8x^{2}+2x-21=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 8, b స్థానంలో 2 మరియు c స్థానంలో -21 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

2 వర్గము.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

-4 సార్లు 8ని గుణించండి.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-32\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

-32 సార్లు -21ని గుణించండి.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+672}}{2\times 8}$$

672కు 4ని కూడండి.

$$x=\frac{-2±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

676 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-2±26}{2\times 8}$$

2 సార్లు 8ని గుణించండి.

$$x=\frac{-2±26}{16}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-2±26}{16} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 26కు -2ని కూడండి.

$$x=\frac{24}{16}$$

8ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{24}{16} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{3}{2}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-2±26}{16} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 26ని -2 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{28}{16}$$

4ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-28}{16} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{7}{4}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$8x^{2}+2x=21$$

రెండు వైపులా 8తో భాగించండి.

$$\frac{8x^{2}+2x}{8}=\frac{21}{8}$$

8తో భాగించడం ద్వారా 8 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{2}{8}x=\frac{21}{8}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{2}{8} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{21}{8}$$

x రాశి యొక్క గుణకము \frac{1}{4}ని 2తో భాగించి \frac{1}{8}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{1}{8} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{21}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{1}{8}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{21}{8}+\frac{1}{64}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{1}{64}కు \frac{21}{8}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{169}{64}$$

కారకం x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{13}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{13}{8}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{1}{8}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$