5x^2-x-2184=0 పరిష్కరించండి

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20.8$$

$$x=21$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 5x^{2}+ax+bx-2184 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -10920ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

సమ్ -1ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-105 b=104$$

\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)ని 5x^{2}-x-2184 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

మొదటి సమూహంలో 5x మరియు రెండవ సమూహంలో 104 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-21ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-21=0 మరియు 5x+104=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 5, b స్థానంలో -1 మరియు c స్థానంలో -2184 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

-4 సార్లు 5ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

-20 సార్లు -2184ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

43680కు 1ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

43681 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

-1 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 1.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

2 సార్లు 5ని గుణించండి.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{1±209}{10} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 209కు 1ని కూడండి.

$$x=\frac{210}{10}$$

10తో 210ని భాగించండి.

$$x=21$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{1±209}{10} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 209ని 1 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{208}{10}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-208}{10} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{104}{5}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2184ని కూడండి.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

-2184ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

-2184ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x^{2}-x=2184$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

5తో భాగించడం ద్వారా 5 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{1}{5}ని 2తో భాగించి -\frac{1}{10}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{1}{10} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{1}{10}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{1}{100}కు \frac{2184}{5}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

కారకం x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{1}{10}ని కూడండి.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$