40x^2-14x+1=0 పరిష్కరించండి

$$40 { x }^{ 2 } -14x+1=0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{1}{10}=0.1$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 40x^{2}+ax+bx+1 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-14 ab=40\times 1=40$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ నెగిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 40ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

సమ్ -14ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-10 b=-4$$

\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)ని 40x^{2}-14x+1 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)$$

మొదటి సమూహంలో 10x మరియు రెండవ సమూహంలో -1 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$10x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 4x-1ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(4x-1\right)\left(10x-1\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 4x-1=0 మరియు 10x-1=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 40, b స్థానంలో -14 మరియు c స్థానంలో 1 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2\times 40}$$

-14 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2\times 40}$$

-4 సార్లు 40ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2\times 40}$$

-160కు 196ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2\times 40}$$

36 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2\times 40}$$

-14 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 14.

$$x=\frac{14±6}{2\times 40}$$

2 సార్లు 40ని గుణించండి.

$$x=\frac{14±6}{80}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{14±6}{80} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 6కు 14ని కూడండి.

$$x=\frac{20}{80}$$

20ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{20}{80} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{1}{4}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{14±6}{80} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 6ని 14 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{8}{80}$$

8ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{8}{80} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{1}{10}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 1ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$40x^{2}-14x+1-1=-1$$

1ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$40x^{2}-14x=-1$$

రెండు వైపులా 40తో భాగించండి.

$$\frac{40x^{2}-14x}{40}=-\frac{1}{40}$$

40తో భాగించడం ద్వారా 40 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{40}\right)x=-\frac{1}{40}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-14}{40} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x=-\frac{1}{40}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{7}{20}ని 2తో భాగించి -\frac{7}{40}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{7}{40} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{40}+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{7}{40}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=-\frac{1}{40}+\frac{49}{1600}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{49}{1600}కు -\frac{1}{40}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=\frac{9}{1600}$$

కారకం x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}=\frac{9}{1600}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{1600}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{7}{40}=\frac{3}{40} x-\frac{7}{40}=-\frac{3}{40}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{7}{40}ని కూడండి.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$