4x^2+2x+1=21 పరిష్కరించండి

$$4 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 21$$

xని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=2$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

రెండు భాగాల నుండి 21ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

-20ని పొందడం కోసం 21ని 1 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$2x^{2}+x-10=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 2x^{2}+ax+bx-10 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=1 ab=2\left(-10\right)=-20$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -20ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

సమ్ 1ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-4 b=5$$

\left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right)ని 2x^{2}+x-10 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right)$$

మొదటి సమూహంలో 2x మరియు రెండవ సమూహంలో 5 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$2x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-2ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-2\right)\left(2x+5\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-2=0 మరియు 2x+5=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 21ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x^{2}+2x+1-21=21-21$$

21ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

21ని 1 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 4, b స్థానంలో 2 మరియు c స్థానంలో -20 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

2 వర్గము.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

-4 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

-16 సార్లు -20ని గుణించండి.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+320}}{2\times 4}$$

320కు 4ని కూడండి.

$$x=\frac{-2±\sqrt{324}}{2\times 4}$$

324 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-2±18}{2\times 4}$$

2 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$x=\frac{-2±18}{8}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-2±18}{8} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 18కు -2ని కూడండి.

$$x=\frac{16}{8}$$

8తో 16ని భాగించండి.

$$x=2$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-2±18}{8} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 18ని -2 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{20}{8}$$

4ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-20}{8} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{5}{2}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 1ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x^{2}+2x+1-1=21-1$$

1ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$4x^{2}+2x=21-1$$

1ని 21 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x^{2}+2x=20$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$\frac{4x^{2}+2x}{4}=\frac{20}{4}$$

4తో భాగించడం ద్వారా 4 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{2}{4}x=\frac{20}{4}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{2}{4} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{20}{4}$$

4తో 20ని భాగించండి.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=5$$

x రాశి యొక్క గుణకము \frac{1}{2}ని 2తో భాగించి \frac{1}{4}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{1}{4} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=5+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{1}{4}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=5+\frac{1}{16}$$

\frac{1}{16}కు 5ని కూడండి.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{81}{16}$$

కారకం x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{1}{4}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$