4x^2-12x-7=0 పరిష్కరించండి

$$4 { x }^{ 2 } -12x-7=0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 4x^{2}+ax+bx-7 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-12 ab=4\left(-7\right)=-28$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -28ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

సమ్ -12ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-14 b=2$$

\left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right)ని 4x^{2}-12x-7 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right)$$

4x^{2}-14xలో 2xని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$2x\left(2x-7\right)+2x-7$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 2x-7ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(2x-7\right)\left(2x+1\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 2x-7=0 మరియు 2x+1=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$4x^{2}-12x-7=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 4, b స్థానంలో -12 మరియు c స్థానంలో -7 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

-12 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

-4 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

-16 సార్లు -7ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+112}}{2\times 4}$$

112కు 144ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

256 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±16}{2\times 4}$$

-12 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 12.

$$x=\frac{12±16}{2\times 4}$$

2 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$x=\frac{12±16}{8}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{12±16}{8} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 16కు 12ని కూడండి.

$$x=\frac{28}{8}$$

4ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{28}{8} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{7}{2}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{12±16}{8} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 16ని 12 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{4}{8}$$

4ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-4}{8} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{1}{2}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$4x^{2}-12x-7=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 7ని కూడండి.

$$4x^{2}-12x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

-7ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$4x^{2}-12x=-\left(-7\right)$$

-7ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x^{2}-12x=7$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{7}{4}$$

4తో భాగించడం ద్వారా 4 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{7}{4}$$

4తో -12ని భాగించండి.

$$x^{2}-3x=\frac{7}{4}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -3ని 2తో భాగించి -\frac{3}{2}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{3}{2} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{7}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{3}{2}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{7+9}{4}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{9}{4}కు \frac{7}{4}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4$$

కారకం x^{2}-3x+\frac{9}{4}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{3}{2}=2 x-\frac{3}{2}=-2$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{3}{2}ని కూడండి.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$