3x^2+8x-11=0 పరిష్కరించండి

$$3 x ^ { 2 } + 8 x - 11 = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

$$x=1$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 3x^{2}+ax+bx-11 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=8 ab=3\left(-11\right)=-33$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -33ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,33 -3,11$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+33=32 -3+11=8$$

సమ్ 8ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-3 b=11$$

\left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right)ని 3x^{2}+8x-11 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right)$$

మొదటి సమూహంలో 3x మరియు రెండవ సమూహంలో 11 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$3x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-1ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-1\right)\left(3x+11\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-1=0 మరియు 3x+11=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 3, b స్థానంలో 8 మరియు c స్థానంలో -11 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

8 వర్గము.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

-4 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-12\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

-12 సార్లు -11ని గుణించండి.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+132}}{2\times 3}$$

132కు 64ని కూడండి.

$$x=\frac{-8±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

196 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-8±14}{2\times 3}$$

2 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$x=\frac{-8±14}{6}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-8±14}{6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 14కు -8ని కూడండి.

$$x=\frac{6}{6}$$

6తో 6ని భాగించండి.

$$x=1$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-8±14}{6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 14ని -8 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{22}{6}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-22}{6} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{11}{3}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 11ని కూడండి.

$$3x^{2}+8x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

-11ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$3x^{2}+8x=-\left(-11\right)$$

-11ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x^{2}+8x=11$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$\frac{3x^{2}+8x}{3}=\frac{11}{3}$$

3తో భాగించడం ద్వారా 3 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{11}{3}$$

x రాశి యొక్క గుణకము \frac{8}{3}ని 2తో భాగించి \frac{4}{3}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{4}{3} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{11}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{4}{3}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{11}{3}+\frac{16}{9}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{16}{9}కు \frac{11}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{9}$$

కారకం x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{4}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$