3r^2-24r=-45 పరిష్కరించండి

$$3 r ^ { 2 } - 24 r = - 45$$

rని పరిష్కరించండి

$$r=3$$

$$r=5$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

రెండు వైపులా 45ని జోడించండి.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$r^{2}-8r+15=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును r^{2}+ar+br+15 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ నెగిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 15ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,-15 -3,-5$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

సమ్ -8ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-5 b=-3$$

\left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right)ని r^{2}-8r+15 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right)$$

మొదటి సమూహంలో r మరియు రెండవ సమూహంలో -3 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$r\left(r-5\right)-3\left(r-5\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ r-5ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(r-5\right)\left(r-3\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, r-5=0 మరియు r-3=0ని పరిష్కరించండి.

$$r=5 r=3$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$3r^{2}-24r=-45$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 45ని కూడండి.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=-45-\left(-45\right)$$

-45ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=0$$

-45ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 3, b స్థానంలో -24 మరియు c స్థానంలో 45 ప్రతిక్షేపించండి.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

-24 వర్గము.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

-4 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-12\times 45}}{2\times 3}$$

-12 సార్లు 45ని గుణించండి.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-540}}{2\times 3}$$

-540కు 576ని కూడండి.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{36}}{2\times 3}$$

36 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±6}{2\times 3}$$

-24 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 24.

$$r=\frac{24±6}{2\times 3}$$

2 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$r=\frac{24±6}{6}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి r=\frac{24±6}{6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 6కు 24ని కూడండి.

$$r=\frac{30}{6}$$

6తో 30ని భాగించండి.

$$r=5$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి r=\frac{24±6}{6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 6ని 24 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$r=\frac{18}{6}$$

6తో 18ని భాగించండి.

$$r=3$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$r=5 r=3$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$3r^{2}-24r=-45$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$\frac{3r^{2}-24r}{3}=-\frac{45}{3}$$

3తో భాగించడం ద్వారా 3 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$r^{2}+\left(-\frac{24}{3}\right)r=-\frac{45}{3}$$

3తో -24ని భాగించండి.

$$r^{2}-8r=-\frac{45}{3}$$

3తో -45ని భాగించండి.

$$r^{2}-8r=-15$$

x రాశి యొక్క గుణకము -8ని 2తో భాగించి -4ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -4 యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$r^{2}-8r+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

-4 వర్గము.

$$r^{2}-8r+16=-15+16$$

16కు -15ని కూడండి.

$$r^{2}-8r+16=1$$

కారకం r^{2}-8r+16. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(r-4\right)^{2}=1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(r-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$r-4=1 r-4=-1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 4ని కూడండి.

$$r=5 r=3$$