3n^2+3n+1=1141 పరిష్కరించండి

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

nని పరిష్కరించండి

$$n=-20$$

$$n=19$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

రెండు భాగాల నుండి 1141ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

-1140ని పొందడం కోసం 1141ని 1 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$n^{2}+n-380=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును n^{2}+an+bn-380 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -380ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

సమ్ 1ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-19 b=20$$

\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)ని n^{2}+n-380 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

మొదటి సమూహంలో n మరియు రెండవ సమూహంలో 20 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ n-19ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, n-19=0 మరియు n+20=0ని పరిష్కరించండి.

$$n=19 n=-20$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 1141ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

1141ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

1141ని 1 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 3, b స్థానంలో 3 మరియు c స్థానంలో -1140 ప్రతిక్షేపించండి.

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

3 వర్గము.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

-4 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

-12 సార్లు -1140ని గుణించండి.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

13680కు 9ని కూడండి.

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

13689 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

2 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి n=\frac{-3±117}{6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 117కు -3ని కూడండి.

$$n=\frac{114}{6}$$

6తో 114ని భాగించండి.

$$n=19$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి n=\frac{-3±117}{6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 117ని -3 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$n=-\frac{120}{6}$$

6తో -120ని భాగించండి.

$$n=-20$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$n=19 n=-20$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 1ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

1ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

1ని 1141 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3n^{2}+3n=1140$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

3తో భాగించడం ద్వారా 3 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

3తో 3ని భాగించండి.

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

3తో 1140ని భాగించండి.

$$n^{2}+n=380$$

x రాశి యొక్క గుణకము 1ని 2తో భాగించి \frac{1}{2}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{1}{2} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{1}{2}ని వర్గము చేయండి.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

\frac{1}{4}కు 380ని కూడండి.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

కారకం n^{2}+n+\frac{1}{4}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{1}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$n=19 n=-20$$