25y^2-54y-63=0 పరిష్కరించండి

$$25 y ^ { 2 } - 54 y - 63 = 0$$

yని పరిష్కరించండి

$$y=-\frac{21}{25}=-0.84$$

$$y=3$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 25y^{2}+ay+by-63 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-54 ab=25\left(-63\right)=-1575$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -1575ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-1575 3,-525 5,-315 7,-225 9,-175 15,-105 21,-75 25,-63 35,-45$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-1575=-1574 3-525=-522 5-315=-310 7-225=-218 9-175=-166 15-105=-90 21-75=-54 25-63=-38 35-45=-10$$

సమ్ -54ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-75 b=21$$

\left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right)ని 25y^{2}-54y-63 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right)$$

మొదటి సమూహంలో 25y మరియు రెండవ సమూహంలో 21 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$25y\left(y-3\right)+21\left(y-3\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ y-3ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(y-3\right)\left(25y+21\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, y-3=0 మరియు 25y+21=0ని పరిష్కరించండి.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 25, b స్థానంలో -54 మరియు c స్థానంలో -63 ప్రతిక్షేపించండి.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

-54 వర్గము.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

-4 సార్లు 25ని గుణించండి.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-100\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

-100 సార్లు -63ని గుణించండి.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916+6300}}{2\times 25}$$

6300కు 2916ని కూడండి.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{9216}}{2\times 25}$$

9216 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±96}{2\times 25}$$

-54 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 54.

$$y=\frac{54±96}{2\times 25}$$

2 సార్లు 25ని గుణించండి.

$$y=\frac{54±96}{50}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి y=\frac{54±96}{50} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 96కు 54ని కూడండి.

$$y=\frac{150}{50}$$

50తో 150ని భాగించండి.

$$y=3$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి y=\frac{54±96}{50} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 96ని 54 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=-\frac{42}{50}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-42}{50} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$y=-\frac{21}{25}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 63ని కూడండి.

$$25y^{2}-54y-63-\left(-63\right)=-\left(-63\right)$$

-63ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$25y^{2}-54y=-\left(-63\right)$$

-63ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$25y^{2}-54y=63$$

రెండు వైపులా 25తో భాగించండి.

$$\frac{25y^{2}-54y}{25}=\frac{63}{25}$$

25తో భాగించడం ద్వారా 25 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y=\frac{63}{25}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{54}{25}ని 2తో భాగించి -\frac{27}{25}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{27}{25} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{63}{25}+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{27}{25}ని వర్గము చేయండి.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{63}{25}+\frac{729}{625}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{729}{625}కు \frac{63}{25}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{2304}{625}$$

కారకం y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{2304}{625}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2304}{625}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$y-\frac{27}{25}=\frac{48}{25} y-\frac{27}{25}=-\frac{48}{25}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{27}{25}ని కూడండి.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$