2y^2+y-21=0 పరిష్కరించండి

$$2 y ^ { 2 } + y - 21 = 0$$

yని పరిష్కరించండి

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$y=3$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 2y^{2}+ay+by-21 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=1 ab=2\left(-21\right)=-42$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -42ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

సమ్ 1ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-6 b=7$$

\left(2y^{2}-6y\right)+\left(7y-21\right)ని 2y^{2}+y-21 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(2y^{2}-6y\right)+\left(7y-21\right)$$

మొదటి సమూహంలో 2y మరియు రెండవ సమూహంలో 7 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$2y\left(y-3\right)+7\left(y-3\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ y-3ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(y-3\right)\left(2y+7\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, y-3=0 మరియు 2y+7=0ని పరిష్కరించండి.

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$2y^{2}+y-21=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 2, b స్థానంలో 1 మరియు c స్థానంలో -21 ప్రతిక్షేపించండి.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

1 వర్గము.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

-4 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

-8 సార్లు -21ని గుణించండి.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2\times 2}$$

168కు 1ని కూడండి.

$$y=\frac{-1±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

169 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$y=\frac{-1±13}{2\times 2}$$

2 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$y=\frac{-1±13}{4}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి y=\frac{-1±13}{4} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 13కు -1ని కూడండి.

$$y=\frac{12}{4}$$

4తో 12ని భాగించండి.

$$y=3$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి y=\frac{-1±13}{4} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 13ని -1 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=-\frac{14}{4}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-14}{4} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$y=-\frac{7}{2}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$2y^{2}+y-21=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 21ని కూడండి.

$$2y^{2}+y-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

-21ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$2y^{2}+y=-\left(-21\right)$$

-21ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2y^{2}+y=21$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$\frac{2y^{2}+y}{2}=\frac{21}{2}$$

2తో భాగించడం ద్వారా 2 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y=\frac{21}{2}$$

x రాశి యొక్క గుణకము \frac{1}{2}ని 2తో భాగించి \frac{1}{4}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{1}{4} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{21}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{1}{4}ని వర్గము చేయండి.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{21}{2}+\frac{1}{16}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{1}{16}కు \frac{21}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{169}{16}$$

కారకం y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$y+\frac{1}{4}=\frac{13}{4} y+\frac{1}{4}=-\frac{13}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{1}{4}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$