12x^2+17x-7=0 పరిష్కరించండి

$$12 x ^ { 2 } + 17 x - 7 = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 12x^{2}+ax+bx-7 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=17 ab=12\left(-7\right)=-84$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -84ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,84 -2,42 -3,28 -4,21 -6,14 -7,12$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+84=83 -2+42=40 -3+28=25 -4+21=17 -6+14=8 -7+12=5$$

సమ్ 17ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-4 b=21$$

\left(12x^{2}-4x\right)+\left(21x-7\right)ని 12x^{2}+17x-7 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(12x^{2}-4x\right)+\left(21x-7\right)$$

మొదటి సమూహంలో 4x మరియు రెండవ సమూహంలో 7 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$4x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 3x-1ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(3x-1\right)\left(4x+7\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 3x-1=0 మరియు 4x+7=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$12x^{2}+17x-7=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 12, b స్థానంలో 17 మరియు c స్థానంలో -7 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 12\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

17 వర్గము.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 12\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

-4 సార్లు 12ని గుణించండి.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-48\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

-48 సార్లు -7ని గుణించండి.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289+336}}{2\times 12}$$

336కు 289ని కూడండి.

$$x=\frac{-17±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

625 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-17±25}{2\times 12}$$

2 సార్లు 12ని గుణించండి.

$$x=\frac{-17±25}{24}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-17±25}{24} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 25కు -17ని కూడండి.

$$x=\frac{8}{24}$$

8ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{8}{24} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{1}{3}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-17±25}{24} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 25ని -17 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{42}{24}$$

6ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-42}{24} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{7}{4}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$12x^{2}+17x-7=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 7ని కూడండి.

$$12x^{2}+17x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

-7ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$12x^{2}+17x=-\left(-7\right)$$

-7ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$12x^{2}+17x=7$$

రెండు వైపులా 12తో భాగించండి.

$$\frac{12x^{2}+17x}{12}=\frac{7}{12}$$

12తో భాగించడం ద్వారా 12 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x=\frac{7}{12}$$

x రాశి యొక్క గుణకము \frac{17}{12}ని 2తో భాగించి \frac{17}{24}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{17}{24} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{7}{12}+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{17}{24}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}=\frac{7}{12}+\frac{289}{576}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{289}{576}కు \frac{7}{12}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}=\frac{625}{576}$$

కారకం x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x+\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+\frac{17}{24}=\frac{25}{24} x+\frac{17}{24}=-\frac{25}{24}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{17}{24}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$