12x^2-7x+1 పరిష్కరించండి

$$12 { x }^{ 2 } -7x+1$$

లబ్ధమూలము

$$\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)$$

పరిష్కారం దశలు

గ్రూప్ చేయడం ద్వారా సమీకరణాన్ని ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, సమీకరణాన్ని 12x^{2}+ax+bx+1 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-7 ab=12\times 1=12$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ నెగిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 12ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

సమ్ -7ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-4 b=-3$$

\left(12x^{2}-4x\right)+\left(-3x+1\right)ని 12x^{2}-7x+1 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(12x^{2}-4x\right)+\left(-3x+1\right)$$

మొదటి సమూహంలో 4x మరియు రెండవ సమూహంలో -1 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$4x\left(3x-1\right)-\left(3x-1\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 3x-1ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) పరివర్తనం ఉపయోగించి క్వాడ్రాటిక్ పాలీనామియల్‌ ఏర్పడవచ్చు, ఇక్కడ x_{1} మరియు x_{2} అనేవి వర్గ సమీకరణం ax^{2}+bx+c=0 సాధనలు.

$$12x^{2}-7x+1=0$$

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 12}}{2\times 12}$$

-7 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 12}}{2\times 12}$$

-4 సార్లు 12ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 12}$$

-48కు 49ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 12}$$

1 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 12}$$

-7 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 12}$$

2 సార్లు 12ని గుణించండి.

$$x=\frac{7±1}{24}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{7±1}{24} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 1కు 7ని కూడండి.

$$x=\frac{8}{24}$$

8ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{8}{24} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{1}{3}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{7±1}{24} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 1ని 7 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{6}{24}$$

6ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{6}{24} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{1}{4}$$

ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) ఉపయోగించి అసలు సూత్రీకరణను కారణాంకం వ్రాయండి. x_{1} కోసం \frac{1}{3}ని మరియు x_{2} కోసం \frac{1}{4}ని ప్రతిక్షేపించండి.

$$12x^{2}-7x+1=12\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{4}\right)$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొని, లవములను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా \frac{1}{3}ని x నుండి వ్యవకలనం చేయండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$12x^{2}-7x+1=12\times \frac{3x-1}{3}\left(x-\frac{1}{4}\right)$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొని, లవములను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా \frac{1}{4}ని x నుండి వ్యవకలనం చేయండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$12x^{2}-7x+1=12\times \frac{3x-1}{3}\times \frac{4x-1}{4}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{3x-1}{3} సార్లు \frac{4x-1}{4}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$12x^{2}-7x+1=12\times \frac{\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)}{3\times 4}$$

3 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$12x^{2}-7x+1=12\times \frac{\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)}{12}$$

12 మరియు 12లో అతిపెద్ద ఉమ్మడి కారకము 12ను తీసివేయండి.

$$12x^{2}-7x+1=\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)$$

మూల్యాంకనం చేయండి

$$\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)$$