0=-16t^2+48t-32 పరిష్కరించండి

$$0 = - 16 t ^ { 2 } + 48 t - 32$$

tని పరిష్కరించండి

$$t=1$$

$$t=2$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

అన్ని చరరాశి విలువలు ఎడమ వైపుకి వచ్చే విధంగా భాగాలను మార్చండి.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

రెండు వైపులా 16తో భాగించండి.

$$-t^{2}+3t-2=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును -t^{2}+at+bt-2 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=3 ab=-\left(-2\right)=2$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ పాజిటివ్‌గా ఉంటాయి. అటువంటి పెయిర్ మాత్రమే సిస్టమ్ పరిష్కారమం.

$$a=2 b=1$$

\left(-t^{2}+2t\right)+\left(t-2\right)ని -t^{2}+3t-2 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(-t^{2}+2t\right)+\left(t-2\right)$$

-t^{2}+2tలో -tని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$-t\left(t-2\right)+t-2$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ t-2ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(t-2\right)\left(-t+1\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, t-2=0 మరియు -t+1=0ని పరిష్కరించండి.

$$t=2 t=1$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

అన్ని చరరాశి విలువలు ఎడమ వైపుకి వచ్చే విధంగా భాగాలను మార్చండి.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో -16, b స్థానంలో 48 మరియు c స్థానంలో -32 ప్రతిక్షేపించండి.

$$t=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\left(-16\right)\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

48 వర్గము.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304-4\left(-16\right)\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

-4 సార్లు -16ని గుణించండి.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304+64\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

64 సార్లు -32ని గుణించండి.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304-2048}}{2\left(-16\right)}$$

-2048కు 2304ని కూడండి.

$$t=\frac{-48±\sqrt{256}}{2\left(-16\right)}$$

256 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$t=\frac{-48±16}{2\left(-16\right)}$$

2 సార్లు -16ని గుణించండి.

$$t=\frac{-48±16}{-32}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి t=\frac{-48±16}{-32} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 16కు -48ని కూడండి.

$$t=-\frac{32}{-32}$$

-32తో -32ని భాగించండి.

$$t=1$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి t=\frac{-48±16}{-32} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 16ని -48 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$t=-\frac{64}{-32}$$

-32తో -64ని భాగించండి.

$$t=2$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$t=1 t=2$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

అన్ని చరరాశి విలువలు ఎడమ వైపుకి వచ్చే విధంగా భాగాలను మార్చండి.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

రెండు వైపులా 32ని జోడించండి. సున్నాతో ఏ సంఖ్యను కూడినా అదే సంఖ్య వస్తుంది.

$$-16t^{2}+48t=32$$

రెండు వైపులా -16తో భాగించండి.

$$\frac{-16t^{2}+48t}{-16}=\frac{32}{-16}$$

-16తో భాగించడం ద్వారా -16 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$t^{2}+\frac{48}{-16}t=\frac{32}{-16}$$

-16తో 48ని భాగించండి.

$$t^{2}-3t=\frac{32}{-16}$$

-16తో 32ని భాగించండి.

$$t^{2}-3t=-2$$

x రాశి యొక్క గుణకము -3ని 2తో భాగించి -\frac{3}{2}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{3}{2} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{3}{2}ని వర్గము చేయండి.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

\frac{9}{4}కు -2ని కూడండి.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

కారకం t^{2}-3t+\frac{9}{4}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{1}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{3}{2}ని కూడండి.

$$t=2 t=1$$