-2x^2+20x=48 పరిష్కరించండి

$$-2 { x }^{ 2 } +20x=48$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=4$$

$$x=6$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

రెండు భాగాల నుండి 48ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2x^{2}+20x-48=0$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$-x^{2}+10x-24=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును -x^{2}+ax+bx-24 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=10 ab=-\left(-24\right)=24$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ పాజిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 24ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

సమ్ 10ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=6 b=4$$

\left(-x^{2}+6x\right)+\left(4x-24\right)ని -x^{2}+10x-24 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(-x^{2}+6x\right)+\left(4x-24\right)$$

మొదటి సమూహంలో -x మరియు రెండవ సమూహంలో 4 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$-x\left(x-6\right)+4\left(x-6\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-6ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-6\right)\left(-x+4\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-6=0 మరియు -x+4=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=6 x=4$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$-2x^{2}+20x=48$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 48ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2x^{2}+20x-48=48-48$$

48ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$-2x^{2}+20x-48=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో -2, b స్థానంలో 20 మరియు c స్థానంలో -48 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-2\right)\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

20 వర్గము.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-2\right)\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

-4 సార్లు -2ని గుణించండి.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+8\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

8 సార్లు -48ని గుణించండి.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-384}}{2\left(-2\right)}$$

-384కు 400ని కూడండి.

$$x=\frac{-20±\sqrt{16}}{2\left(-2\right)}$$

16 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-20±4}{2\left(-2\right)}$$

2 సార్లు -2ని గుణించండి.

$$x=\frac{-20±4}{-4}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-20±4}{-4} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 4కు -20ని కూడండి.

$$x=-\frac{16}{-4}$$

-4తో -16ని భాగించండి.

$$x=4$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-20±4}{-4} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 4ని -20 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{24}{-4}$$

-4తో -24ని భాగించండి.

$$x=6$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=4 x=6$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$-2x^{2}+20x=48$$

రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$\frac{-2x^{2}+20x}{-2}=\frac{48}{-2}$$

-2తో భాగించడం ద్వారా -2 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{20}{-2}x=\frac{48}{-2}$$

-2తో 20ని భాగించండి.

$$x^{2}-10x=\frac{48}{-2}$$

-2తో 48ని భాగించండి.

$$x^{2}-10x=-24$$

x రాశి యొక్క గుణకము -10ని 2తో భాగించి -5ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -5 యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-24+\left(-5\right)^{2}$$

-5 వర్గము.

$$x^{2}-10x+25=-24+25$$

25కు -24ని కూడండి.

$$x^{2}-10x+25=1$$

కారకం x^{2}-10x+25. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-5\right)^{2}=1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-5=1 x-5=-1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 5ని కూడండి.

$$x=6 x=4$$