(1+x/2)(1000-200x)+500(1+x)=14400 పరిష్కరించండి

$$(1+ \frac{ x }{ 2 } )(1000-200x)+500(1+x)=14400$$

xని పరిష్కరించండి (సంకీర్ణ పరిష్కారం)

$$x=4+\sqrt{113}i\approx 4+10.630145813i$$

$$x=-\sqrt{113}i+4\approx 4-10.630145813i$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$2\left(1+\frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

1+\frac{x}{2}తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$\left(2+2\times \frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

2\times \frac{x}{2}ని ఏక భిన్నం వలె వ్యక్తీకరించండి.

$$\left(2+\frac{2x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

2 మరియు 2ని పరిష్కరించండి.

$$\left(2+x\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

2+xలోని ప్రతి పదాన్ని 1000-200xలోని ప్రతి పదంతో గుణించడం ద్వారా పంపిణీ లక్షణాన్ని వర్తింపజేయండి.

$$2000-400x+1000x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

600xని పొందడం కోసం -400x మరియు 1000xని జత చేయండి.

$$2000+600x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

1+xతో 1000ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2000+600x-200x^{2}+1000+1000x=28800$$

3000ని పొందడం కోసం 2000 మరియు 1000ని కూడండి.

$$3000+600x-200x^{2}+1000x=28800$$

1600xని పొందడం కోసం 600x మరియు 1000xని జత చేయండి.

$$3000+1600x-200x^{2}=28800$$

రెండు భాగాల నుండి 28800ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3000+1600x-200x^{2}-28800=0$$

-25800ని పొందడం కోసం 28800ని 3000 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-25800+1600x-200x^{2}=0$$

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$-200x^{2}+1600x-25800=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో -200, b స్థానంలో 1600 మరియు c స్థానంలో -25800 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{1600^{2}-4\left(-200\right)\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

1600 వర్గము.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000-4\left(-200\right)\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

-4 సార్లు -200ని గుణించండి.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000+800\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

800 సార్లు -25800ని గుణించండి.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000-20640000}}{2\left(-200\right)}$$

-20640000కు 2560000ని కూడండి.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{-18080000}}{2\left(-200\right)}$$

-18080000 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{2\left(-200\right)}$$

2 సార్లు -200ని గుణించండి.

$$x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 400i\sqrt{113}కు -1600ని కూడండి.

$$x=\frac{-1600+400\sqrt{113}i}{-400}$$

-400తో -1600+400i\sqrt{113}ని భాగించండి.

$$x=-\sqrt{113}i+4$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 400i\sqrt{113}ని -1600 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{-400\sqrt{113}i-1600}{-400}$$

-400తో -1600-400i\sqrt{113}ని భాగించండి.

$$x=4+\sqrt{113}i$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=-\sqrt{113}i+4 x=4+\sqrt{113}i$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$2\left(1+\frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

1+\frac{x}{2}తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$\left(2+2\times \frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

2\times \frac{x}{2}ని ఏక భిన్నం వలె వ్యక్తీకరించండి.

$$\left(2+\frac{2x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

2 మరియు 2ని పరిష్కరించండి.

$$\left(2+x\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

2+xలోని ప్రతి పదాన్ని 1000-200xలోని ప్రతి పదంతో గుణించడం ద్వారా పంపిణీ లక్షణాన్ని వర్తింపజేయండి.

$$2000-400x+1000x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

600xని పొందడం కోసం -400x మరియు 1000xని జత చేయండి.

$$2000+600x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

1+xతో 1000ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2000+600x-200x^{2}+1000+1000x=28800$$

3000ని పొందడం కోసం 2000 మరియు 1000ని కూడండి.

$$3000+600x-200x^{2}+1000x=28800$$

1600xని పొందడం కోసం 600x మరియు 1000xని జత చేయండి.

$$3000+1600x-200x^{2}=28800$$

రెండు భాగాల నుండి 3000ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$1600x-200x^{2}=28800-3000$$

25800ని పొందడం కోసం 3000ని 28800 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$1600x-200x^{2}=25800$$

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$-200x^{2}+1600x=25800$$

రెండు వైపులా -200తో భాగించండి.

$$\frac{-200x^{2}+1600x}{-200}=\frac{25800}{-200}$$

-200తో భాగించడం ద్వారా -200 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{1600}{-200}x=\frac{25800}{-200}$$

-200తో 1600ని భాగించండి.

$$x^{2}-8x=\frac{25800}{-200}$$

-200తో 25800ని భాగించండి.

$$x^{2}-8x=-129$$

x రాశి యొక్క గుణకము -8ని 2తో భాగించి -4ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -4 యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-129+\left(-4\right)^{2}$$

-4 వర్గము.

$$x^{2}-8x+16=-129+16$$

16కు -129ని కూడండి.

$$x^{2}-8x+16=-113$$

కారకం x^{2}-8x+16. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-4\right)^{2}=-113$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-113}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-4=\sqrt{113}i x-4=-\sqrt{113}i$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 4ని కూడండి.

$$x=4+\sqrt{113}i x=-\sqrt{113}i+4$$