(x+3)^2+(3x-8)(3x+8)+1=3[x(x+3)+6] పరిష్కరించండి

$$( x + 3 ) ^ { 2 } + ( 3 x - 8 ) ( 3 x + 8 ) + 1 = 3 [ x ( x + 3 ) + 6 ]$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-3$$

$$x = \frac{24}{7} = 3\frac{3}{7} \approx 3.428571429$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

\left(x+3\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)ని పరిగణించండి. ఈ నియమాన్ని ఉపయోగించి గుణకారాన్ని చతరుస్రాల మధ్య తేడా వలె మార్చండి: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 8 వర్గము.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

\left(3x\right)^{2}ని విస్తరించండి.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

2 యొక్క ఘాతంలో 3 ఉంచి గణించి, 9ని పొందండి.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

10x^{2}ని పొందడం కోసం x^{2} మరియు 9x^{2}ని జత చేయండి.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

-55ని పొందడం కోసం 64ని 9 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

-54ని పొందడం కోసం -55 మరియు 1ని కూడండి.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

x+3తో xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

x^{2}+3x+6తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

రెండు భాగాల నుండి 3x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

7x^{2}ని పొందడం కోసం 10x^{2} మరియు -3x^{2}ని జత చేయండి.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

రెండు భాగాల నుండి 9xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

-3xని పొందడం కోసం 6x మరియు -9xని జత చేయండి.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

రెండు భాగాల నుండి 18ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

-72ని పొందడం కోసం 18ని -54 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 7x^{2}+ax+bx-72 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-3 ab=7\left(-72\right)=-504$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -504ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-504 2,-252 3,-168 4,-126 6,-84 7,-72 8,-63 9,-56 12,-42 14,-36 18,-28 21,-24$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-504=-503 2-252=-250 3-168=-165 4-126=-122 6-84=-78 7-72=-65 8-63=-55 9-56=-47 12-42=-30 14-36=-22 18-28=-10 21-24=-3$$

సమ్ -3ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-24 b=21$$

\left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right)ని 7x^{2}-3x-72 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right)$$

మొదటి సమూహంలో x మరియు రెండవ సమూహంలో 3 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$x\left(7x-24\right)+3\left(7x-24\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 7x-24ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(7x-24\right)\left(x+3\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 7x-24=0 మరియు x+3=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

\left(x+3\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)ని పరిగణించండి. ఈ నియమాన్ని ఉపయోగించి గుణకారాన్ని చతరుస్రాల మధ్య తేడా వలె మార్చండి: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 8 వర్గము.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

\left(3x\right)^{2}ని విస్తరించండి.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

2 యొక్క ఘాతంలో 3 ఉంచి గణించి, 9ని పొందండి.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

10x^{2}ని పొందడం కోసం x^{2} మరియు 9x^{2}ని జత చేయండి.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

-55ని పొందడం కోసం 64ని 9 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

-54ని పొందడం కోసం -55 మరియు 1ని కూడండి.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

x+3తో xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

x^{2}+3x+6తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

రెండు భాగాల నుండి 3x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

7x^{2}ని పొందడం కోసం 10x^{2} మరియు -3x^{2}ని జత చేయండి.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

రెండు భాగాల నుండి 9xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

-3xని పొందడం కోసం 6x మరియు -9xని జత చేయండి.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

రెండు భాగాల నుండి 18ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

-72ని పొందడం కోసం 18ని -54 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 7, b స్థానంలో -3 మరియు c స్థానంలో -72 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

-3 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

-4 సార్లు 7ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

-28 సార్లు -72ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+2016}}{2\times 7}$$

2016కు 9ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

2025 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±45}{2\times 7}$$

-3 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 3.

$$x=\frac{3±45}{2\times 7}$$

2 సార్లు 7ని గుణించండి.

$$x=\frac{3±45}{14}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{3±45}{14} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 45కు 3ని కూడండి.

$$x=\frac{48}{14}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{48}{14} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{24}{7}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{3±45}{14} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 45ని 3 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{42}{14}$$

14తో -42ని భాగించండి.

$$x=-3$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

\left(x+3\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)ని పరిగణించండి. ఈ నియమాన్ని ఉపయోగించి గుణకారాన్ని చతరుస్రాల మధ్య తేడా వలె మార్చండి: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 8 వర్గము.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

\left(3x\right)^{2}ని విస్తరించండి.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

2 యొక్క ఘాతంలో 3 ఉంచి గణించి, 9ని పొందండి.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

10x^{2}ని పొందడం కోసం x^{2} మరియు 9x^{2}ని జత చేయండి.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

-55ని పొందడం కోసం 64ని 9 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

-54ని పొందడం కోసం -55 మరియు 1ని కూడండి.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

x+3తో xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

x^{2}+3x+6తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

రెండు భాగాల నుండి 3x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

7x^{2}ని పొందడం కోసం 10x^{2} మరియు -3x^{2}ని జత చేయండి.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

రెండు భాగాల నుండి 9xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

-3xని పొందడం కోసం 6x మరియు -9xని జత చేయండి.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

రెండు వైపులా 54ని జోడించండి.

$$7x^{2}-3x=18+54$$

72ని పొందడం కోసం 18 మరియు 54ని కూడండి.

$$7x^{2}-3x=72$$

రెండు వైపులా 7తో భాగించండి.

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{72}{7}$$

7తో భాగించడం ద్వారా 7 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{72}{7}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{3}{7}ని 2తో భాగించి -\frac{3}{14}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{3}{14} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{72}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{3}{14}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{72}{7}+\frac{9}{196}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{9}{196}కు \frac{72}{7}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{2025}{196}$$

కారకం x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{3}{14}=\frac{45}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{45}{14}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{3}{14}ని కూడండి.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$