(2x^2+x)^2-6x^2-3x+2=0 పరిష్కరించండి

$$( 2 x ^ { 2 } + x ) ^ { 2 } - 6 x ^ { 2 } - 3 x + 2 = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{\sqrt{17}-1}{4}\approx 0.780776406$$

$$x=\frac{-\sqrt{17}-1}{4}\approx -1.280776406$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x=-1$$

పరిష్కారం దశలు

సరళీకృతం చేయండి.

$$4x^{4}+4x^{3}-5x^{2}-3x+2=0$$

పరిమేయ మూల సిద్ధాంతం ప్రకారం, పాలీనామియల్ యొక్క అన్ని రేషనల్ రూట్‌లు రూపంలో \frac{p}{q} ఉండాలి, ఇందులో p అనేది కాన్‌స్టంట్ టర్మ్ 2ని భాగిస్తుంది మరియు q అనేది లీడింగ్ కోఎఫిషియంట్ 4ని భాగిస్తుంది. మొత్తం క్యాండిడేట్‌లను \frac{p}{q} జాబితా చేయండి.

$$±\frac{1}{2},±1,±2,±\frac{1}{4}$$

అత్యంత చిన్న విలువ నుండి ఖచ్చితమైన విలువ వరకు, అన్ని పూర్ణాంకం విలువలను ప్రయత్నించడం ద్వారా అటువంటి ఒక రూట్‌ను కనుగొనండి. పూర్ణాంకం రూట్‌లు కనుగొనబడకుంటే, ఫ్రాక్షన్‌లను ప్రయత్నించండి.

$$x=-1$$

ఫ్యాక్టర్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, x-k అనేది ప్రతి రూట్ k యొక్క పాలీనామియల్‌కు ఒక ఫ్యాక్టర్. 4x^{4}+4x^{3}-5x^{2}-3x+2ని x+1తో భాగించి 4x^{3}-5x+2ని పొందండి. ఫలితం మరియు 0 సమానంగా ఉన్నప్పుడు ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను పరిష్కరించండి.

$$4x^{3}-5x+2=0$$

పరిమేయ మూల సిద్ధాంతం ప్రకారం, పాలీనామియల్ యొక్క అన్ని రేషనల్ రూట్‌లు రూపంలో \frac{p}{q} ఉండాలి, ఇందులో p అనేది కాన్‌స్టంట్ టర్మ్ 2ని భాగిస్తుంది మరియు q అనేది లీడింగ్ కోఎఫిషియంట్ 4ని భాగిస్తుంది. మొత్తం క్యాండిడేట్‌లను \frac{p}{q} జాబితా చేయండి.

$$±\frac{1}{2},±1,±2,±\frac{1}{4}$$

అత్యంత చిన్న విలువ నుండి ఖచ్చితమైన విలువ వరకు, అన్ని పూర్ణాంకం విలువలను ప్రయత్నించడం ద్వారా అటువంటి ఒక రూట్‌ను కనుగొనండి. పూర్ణాంకం రూట్‌లు కనుగొనబడకుంటే, ఫ్రాక్షన్‌లను ప్రయత్నించండి.

$$x=\frac{1}{2}$$

ఫ్యాక్టర్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, x-k అనేది ప్రతి రూట్ k యొక్క పాలీనామియల్‌కు ఒక ఫ్యాక్టర్. 4x^{3}-5x+2ని 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1తో భాగించి 2x^{2}+x-2ని పొందండి. ఫలితం మరియు 0 సమానంగా ఉన్నప్పుడు ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను పరిష్కరించండి.

$$2x^{2}+x-2=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ఫారమ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాలను దిగువ క్వాడ్రాటిక్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. క్వాడ్రాటిక్ సూత్రంలో 2 స్థానంలో a, 1 స్థానంలో b -2 స్థానంలో c ఉంచండి.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

లెక్కలు చేయండి.

$$x=\frac{-1±\sqrt{17}}{4}$$

± ప్లస్ మరియు ± మైనస్ అయినప్పుడు సమీకరణం 2x^{2}+x-2=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{-\sqrt{17}-1}{4} x=\frac{\sqrt{17}-1}{4}$$

కనుగొన్న అన్ని పరిష్కారాలను జాబితా చేయండి.

$$x=-1 x=\frac{1}{2} x=\frac{-\sqrt{17}-1}{4} x=\frac{\sqrt{17}-1}{4}$$