(2-x)^2+(3x+1)(3x-1)-1/2[8-5x+5x(2x+1)]=0 పరిష్కరించండి

$$( 2 - x ) ^ { 2 } + ( 3 x + 1 ) ( 3 x - 1 ) - \frac { 1 } { 2 } [ 8 - 5 x + 5 x ( 2 x + 1 ) ] = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$x=1$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

\left(2-x\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$4-4x+x^{2}+\left(3x+1\right)\left(3x-1\right)-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

\left(3x+1\right)\left(3x-1\right)ని పరిగణించండి. ఈ నియమాన్ని ఉపయోగించి గుణకారాన్ని చతరుస్రాల మధ్య తేడా వలె మార్చండి: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 1 వర్గము.

$$4-4x+x^{2}+\left(3x\right)^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

\left(3x\right)^{2}ని విస్తరించండి.

$$4-4x+x^{2}+3^{2}x^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

2 యొక్క ఘాతంలో 3 ఉంచి గణించి, 9ని పొందండి.

$$4-4x+x^{2}+9x^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

10x^{2}ని పొందడం కోసం x^{2} మరియు 9x^{2}ని జత చేయండి.

$$4-4x+10x^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

3ని పొందడం కోసం 1ని 4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3-4x+10x^{2}-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

2x+1తో 5xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3-4x+10x^{2}-\frac{1}{2}\left(8-5x+10x^{2}+5x\right)=0$$

0ని పొందడం కోసం -5x మరియు 5xని జత చేయండి.

$$3-4x+10x^{2}-\frac{1}{2}\left(8+10x^{2}\right)=0$$

8+10x^{2}తో -\frac{1}{2}ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3-4x+10x^{2}-4-5x^{2}=0$$

-1ని పొందడం కోసం 4ని 3 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-1-4x+10x^{2}-5x^{2}=0$$

5x^{2}ని పొందడం కోసం 10x^{2} మరియు -5x^{2}ని జత చేయండి.

$$-1-4x+5x^{2}=0$$

దీనిని ప్రామాణిక రూపంలో పెట్టడం కోసం పాలినామియల్‌ను సరి చేయండి. పదాలను అత్యధిక పవర్ నుండి అతి తక్కువ పవర్ క్రమంలో క్రమీకరించండి.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 5x^{2}+ax+bx-1 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-4 ab=5\left(-1\right)=-5$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. అటువంటి పెయిర్ మాత్రమే సిస్టమ్ పరిష్కారమం.

$$a=-5 b=1$$

\left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right)ని 5x^{2}-4x-1 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right)$$

5x^{2}-5xలో 5xని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$5x\left(x-1\right)+x-1$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-1ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-1\right)\left(5x+1\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-1=0 మరియు 5x+1=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

\left(2-x\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$4-4x+x^{2}+\left(3x+1\right)\left(3x-1\right)-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

\left(3x+1\right)\left(3x-1\right)ని పరిగణించండి. ఈ నియమాన్ని ఉపయోగించి గుణకారాన్ని చతరుస్రాల మధ్య తేడా వలె మార్చండి: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 1 వర్గము.

$$4-4x+x^{2}+\left(3x\right)^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

\left(3x\right)^{2}ని విస్తరించండి.

$$4-4x+x^{2}+3^{2}x^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

2 యొక్క ఘాతంలో 3 ఉంచి గణించి, 9ని పొందండి.

$$4-4x+x^{2}+9x^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

10x^{2}ని పొందడం కోసం x^{2} మరియు 9x^{2}ని జత చేయండి.

$$4-4x+10x^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

3ని పొందడం కోసం 1ని 4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3-4x+10x^{2}-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

2x+1తో 5xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3-4x+10x^{2}-\frac{1}{2}\left(8-5x+10x^{2}+5x\right)=0$$

0ని పొందడం కోసం -5x మరియు 5xని జత చేయండి.

$$3-4x+10x^{2}-\frac{1}{2}\left(8+10x^{2}\right)=0$$

8+10x^{2}తో -\frac{1}{2}ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3-4x+10x^{2}-4-5x^{2}=0$$

-1ని పొందడం కోసం 4ని 3 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-1-4x+10x^{2}-5x^{2}=0$$

5x^{2}ని పొందడం కోసం 10x^{2} మరియు -5x^{2}ని జత చేయండి.

$$-1-4x+5x^{2}=0$$

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 5, b స్థానంలో -4 మరియు c స్థానంలో -1 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

-4 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

-4 సార్లు 5ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

-20 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+20}}{2\times 5}$$

20కు 16ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{36}}{2\times 5}$$

36 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±6}{2\times 5}$$

-4 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 4.

$$x=\frac{4±6}{2\times 5}$$

2 సార్లు 5ని గుణించండి.

$$x=\frac{4±6}{10}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{4±6}{10} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 6కు 4ని కూడండి.

$$x=\frac{10}{10}$$

10తో 10ని భాగించండి.

$$x=1$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{4±6}{10} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 6ని 4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{2}{10}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-2}{10} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{1}{5}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

\left(2-x\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$4-4x+x^{2}+\left(3x+1\right)\left(3x-1\right)-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

\left(3x+1\right)\left(3x-1\right)ని పరిగణించండి. ఈ నియమాన్ని ఉపయోగించి గుణకారాన్ని చతరుస్రాల మధ్య తేడా వలె మార్చండి: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 1 వర్గము.

$$4-4x+x^{2}+\left(3x\right)^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

\left(3x\right)^{2}ని విస్తరించండి.

$$4-4x+x^{2}+3^{2}x^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

2 యొక్క ఘాతంలో 3 ఉంచి గణించి, 9ని పొందండి.

$$4-4x+x^{2}+9x^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

10x^{2}ని పొందడం కోసం x^{2} మరియు 9x^{2}ని జత చేయండి.

$$4-4x+10x^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

3ని పొందడం కోసం 1ని 4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3-4x+10x^{2}-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

2x+1తో 5xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3-4x+10x^{2}-\frac{1}{2}\left(8-5x+10x^{2}+5x\right)=0$$

0ని పొందడం కోసం -5x మరియు 5xని జత చేయండి.

$$3-4x+10x^{2}-\frac{1}{2}\left(8+10x^{2}\right)=0$$

8+10x^{2}తో -\frac{1}{2}ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3-4x+10x^{2}-4-5x^{2}=0$$

-1ని పొందడం కోసం 4ని 3 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-1-4x+10x^{2}-5x^{2}=0$$

5x^{2}ని పొందడం కోసం 10x^{2} మరియు -5x^{2}ని జత చేయండి.

$$-1-4x+5x^{2}=0$$

రెండు వైపులా 1ని జోడించండి. సున్నాతో ఏ సంఖ్యను కూడినా అదే సంఖ్య వస్తుంది.

$$-4x+5x^{2}=1$$

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$5x^{2}-4x=1$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=\frac{1}{5}$$

5తో భాగించడం ద్వారా 5 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=\frac{1}{5}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{4}{5}ని 2తో భాగించి -\frac{2}{5}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{2}{5} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{2}{5}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{1}{5}+\frac{4}{25}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{4}{25}కు \frac{1}{5}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{9}{25}$$

కారకం x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{25}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{3}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{3}{5}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{2}{5}ని కూడండి.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$