{c}{-2(x+y)=12}{5(x+1)-4(y+3)=17} పరిష్కరించండి

$$\left.\begin{array} { c } { - 2 ( x + y ) = 12 } \\ { 5 ( x + 1 ) - 4 ( y + 3 ) = 17 } \end{array} \right\}$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=0$$

$$y=-6$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$x+y=\frac{12}{-2}$$

12ని -2తో భాగించి -6ని పొందండి.

$$x+y=-6$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+1తో 5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$5x+5-4\left(y+3\right)=17$$

y+3తో -4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$5x+5-4y-12=17$$

-7ని పొందడం కోసం 12ని 5 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x-7-4y=17$$

రెండు వైపులా 7ని జోడించండి.

$$5x-4y=17+7$$

24ని పొందడం కోసం 17 మరియు 7ని కూడండి.

$$5x-4y=24$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x+y=-6,5x-4y=24$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x+y=-6$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-y-6$$

మరొక సమీకరణములో xను -y-6 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 5x-4y=24.

$$5\left(-y-6\right)-4y=24$$

5 సార్లు -y-6ని గుణించండి.

$$-5y-30-4y=24$$

-4yకు -5yని కూడండి.

$$-9y-30=24$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 30ని కూడండి.

$$-9y=54$$

రెండు వైపులా -9తో భాగించండి.

$$y=-6$$

x=-y-6లో yను -6 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\left(-6\right)-6$$

-1 సార్లు -6ని గుణించండి.

$$x=6-6$$

6కు -6ని కూడండి.

$$x=0$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=0,y=-6$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$x+y=\frac{12}{-2}$$

12ని -2తో భాగించి -6ని పొందండి.

$$x+y=-6$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+1తో 5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$5x+5-4\left(y+3\right)=17$$

y+3తో -4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$5x+5-4y-12=17$$

-7ని పొందడం కోసం 12ని 5 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x-7-4y=17$$

రెండు వైపులా 7ని జోడించండి.

$$5x-4y=17+7$$

24ని పొందడం కోసం 17 మరియు 7ని కూడండి.

$$5x-4y=24$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x+y=-6,5x-4y=24$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-5}&-\frac{1}{-4-5}\\-\frac{5}{-4-5}&\frac{1}{-4-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\left(-6\right)+\frac{1}{9}\times 24\\\frac{5}{9}\left(-6\right)-\frac{1}{9}\times 24\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-6\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=0,y=-6$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$x+y=\frac{12}{-2}$$

12ని -2తో భాగించి -6ని పొందండి.

$$x+y=-6$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+1తో 5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$5x+5-4\left(y+3\right)=17$$

y+3తో -4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$5x+5-4y-12=17$$

-7ని పొందడం కోసం 12ని 5 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x-7-4y=17$$

రెండు వైపులా 7ని జోడించండి.

$$5x-4y=17+7$$

24ని పొందడం కోసం 17 మరియు 7ని కూడండి.

$$5x-4y=24$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x+y=-6,5x-4y=24$$

x మరియు 5xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$5x+5y=5\left(-6\right),5x-4y=24$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$5x+5y=-30,5x-4y=24$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 5x-4y=24ని 5x+5y=-30 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x-5x+5y+4y=-30-24$$

-5xకు 5xని కూడండి. 5x మరియు -5x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$5y+4y=-30-24$$

4yకు 5yని కూడండి.

$$9y=-30-24$$

-24కు -30ని కూడండి.

$$9y=-54$$

రెండు వైపులా 9తో భాగించండి.

$$y=-6$$

5x-4y=24లో yను -6 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$5x-4\left(-6\right)=24$$

-4 సార్లు -6ని గుణించండి.

$$5x+24=24$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 24ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x=0$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=0$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=0,y=-6$$