{l}{2x+2y=10}{-2x+4y=-4} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array}{l}{ 2 x + 2 y = 10 }\\{ - 2 x + 4 y = - 4 }\end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=4$$

$$y=1$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x+2y=10,-2x+4y=-4$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x+2y=10$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=-2y+10$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+10\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు -2y+10ని గుణించండి.

$$x=-y+5$$

మరొక సమీకరణములో xను -y+5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -2x+4y=-4.

$$-2\left(-y+5\right)+4y=-4$$

-2 సార్లు -y+5ని గుణించండి.

$$2y-10+4y=-4$$

4yకు 2yని కూడండి.

$$6y-10=-4$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 10ని కూడండి.

$$6y=6$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$y=1$$

x=-y+5లో yను 1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-1+5$$

-1కు 5ని కూడండి.

$$x=4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=4,y=1$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x+2y=10,-2x+4y=-4$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&2\\-2&4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{2\times 4-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 4-2\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 4-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 10-\frac{1}{6}\left(-4\right)\\\frac{1}{6}\times 10+\frac{1}{6}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=4,y=1$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x+2y=10,-2x+4y=-4$$

2x మరియు -2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$-2\times 2x-2\times 2y=-2\times 10,2\left(-2\right)x+2\times 4y=2\left(-4\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-4x-4y=-20,-4x+8y=-8$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -4x+8y=-8ని -4x-4y=-20 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-4x+4x-4y-8y=-20+8$$

4xకు -4xని కూడండి. -4x మరియు 4x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-4y-8y=-20+8$$

-8yకు -4yని కూడండి.

$$-12y=-20+8$$

8కు -20ని కూడండి.

$$-12y=-12$$

రెండు వైపులా -12తో భాగించండి.

$$y=1$$

-2x+4y=-4లో yను 1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-2x+4=-4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2x=-8$$

రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$x=4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=4,y=1$$