{l}{10x-3y=27}{4x+y=2} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array}{l}{ 10 x - 3 y = 27 }\\{ 4 x + y = 2 }\end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-4$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$10x-3y=27,4x+y=2$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$10x-3y=27$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3yని కూడండి.

$$10x=3y+27$$

రెండు వైపులా 10తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{10}\left(3y+27\right)$$

\frac{1}{10} సార్లు 27+3yని గుణించండి.

$$x=\frac{3}{10}y+\frac{27}{10}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{27+3y}{10} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 4x+y=2.

$$4\left(\frac{3}{10}y+\frac{27}{10}\right)+y=2$$

4 సార్లు \frac{27+3y}{10}ని గుణించండి.

$$\frac{6}{5}y+\frac{54}{5}+y=2$$

yకు \frac{6y}{5}ని కూడండి.

$$\frac{11}{5}y+\frac{54}{5}=2$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{54}{5}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{11}{5}y=-\frac{44}{5}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{11}{5}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-4$$

x=\frac{3}{10}y+\frac{27}{10}లో yను -4 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{3}{10}\left(-4\right)+\frac{27}{10}$$

\frac{3}{10} సార్లు -4ని గుణించండి.

$$x=-\frac{6}{5}+\frac{27}{10}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{6}{5}కు \frac{27}{10}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{3}{2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{3}{2},y=-4$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$10x-3y=27,4x+y=2$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\2\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\2\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{10-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{10-\left(-3\times 4\right)}&\frac{10}{10-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\2\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{3}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\2\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 27+\frac{3}{22}\times 2\\-\frac{2}{11}\times 27+\frac{5}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-4\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{3}{2},y=-4$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$10x-3y=27,4x+y=2$$

10x మరియు 4xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 10తో గుణించండి.

$$4\times 10x+4\left(-3\right)y=4\times 27,10\times 4x+10y=10\times 2$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$40x-12y=108,40x+10y=20$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 40x+10y=20ని 40x-12y=108 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$40x-40x-12y-10y=108-20$$

-40xకు 40xని కూడండి. 40x మరియు -40x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-12y-10y=108-20$$

-10yకు -12yని కూడండి.

$$-22y=108-20$$

-20కు 108ని కూడండి.

$$-22y=88$$

రెండు వైపులా -22తో భాగించండి.

$$y=-4$$

4x+y=2లో yను -4 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$4x-4=2$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 4ని కూడండి.

$$4x=6$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{3}{2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{3}{2},y=-4$$