{r}{6x+120+5(y-20)=216}{x+y=40} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { r } { 6 x + 120 + 5 ( y - 20 ) = 216 } \\ { x + y = 40 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-4$$

$$y=44$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$6x+5\left(y-20\right)+120=216,x+y=40$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$6x+5\left(y-20\right)+120=216$$

5 సార్లు y-20ని గుణించండి.

$$6x+5y-100+120=216$$

120కు -100ని కూడండి.

$$6x+5y+20=216$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 20ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x+5y=196$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 5yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x=-5y+196$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+196\right)$$

\frac{1}{6} సార్లు -5y+196ని గుణించండి.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{98}{3}$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{5y}{6}+\frac{98}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x+y=40.

$$-\frac{5}{6}y+\frac{98}{3}+y=40$$

yకు -\frac{5y}{6}ని కూడండి.

$$\frac{1}{6}y+\frac{98}{3}=40$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{98}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{1}{6}y=\frac{22}{3}$$

రెండు వైపులా 6తో గుణించండి.

$$y=44$$

x=-\frac{5}{6}y+\frac{98}{3}లో yను 44 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{5}{6}\times 44+\frac{98}{3}$$

-\frac{5}{6} సార్లు 44ని గుణించండి.

$$x=\frac{-110+98}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{110}{3}కు \frac{98}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-4,y=44$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$6x+5\left(y-20\right)+120=216,x+y=40$$

ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచడం కోసం మొదటి సమీకరణమును సరళీకృతం చేయండి.

$$6x+5\left(y-20\right)+120=216$$

5 సార్లు y-20ని గుణించండి.

$$6x+5y-100+120=216$$

120కు -100ని కూడండి.

$$6x+5y+20=216$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 20ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x+5y=196$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}196\\40\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&5\\1&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}196\\40\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}196\\40\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}196\\40\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-5}&-\frac{5}{6-5}\\-\frac{1}{6-5}&\frac{6}{6-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}196\\40\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-5\\-1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}196\\40\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}196-5\times 40\\-196+6\times 40\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\44\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-4,y=44$$