{l}{y=6x}{x+y+y=315.9} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { y = 6 x } \\ { x + y + y = 315.9 } \end{array} \right.$$

y, xని పరిష్కరించండి

$$x=24.3$$

$$y=145.8$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 6xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-6x=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 2yని పొందడం కోసం y మరియు yని జత చేయండి.

$$x+2y=315.9$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న yని వేరు చేయడం ద్వారా yని పరిష్కరించండి.

$$y-6x=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 6xని కూడండి.

$$y=6x$$

మరొక సమీకరణములో yను 6x స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2y+x=315.9.

$$2\times 6x+x=315.9$$

2 సార్లు 6xని గుణించండి.

$$12x+x=315.9$$

xకు 12xని కూడండి.

$$13x=315.9$$

రెండు వైపులా 13తో భాగించండి.

$$x=24.3$$

y=6xలో xను 24.3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y=6\times 24.3$$

6 సార్లు 24.3ని గుణించండి.

$$y=145.8$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=145.8,x=24.3$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 6xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-6x=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 2yని పొందడం కోసం y మరియు yని జత చేయండి.

$$x+2y=315.9$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-6\times 2\right)}&-\frac{-6}{1-\left(-6\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-6\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-6\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{6}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{13}\times 315.9\\\frac{1}{13}\times 315.9\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{729}{5}\\\frac{243}{10}\end{matrix}\right)$$

y మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$y=\frac{729}{5},x=\frac{243}{10}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 6xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-6x=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 2yని పొందడం కోసం y మరియు yని జత చేయండి.

$$x+2y=315.9$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

y మరియు 2yని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$2y+2\left(-6\right)x=0,2y+x=315.9$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$2y-12x=0,2y+x=315.9$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 2y+x=315.9ని 2y-12x=0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2y-2y-12x-x=-315.9$$

-2yకు 2yని కూడండి. 2y మరియు -2y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-12x-x=-315.9$$

-xకు -12xని కూడండి.

$$-13x=-315.9$$

రెండు వైపులా -13తో భాగించండి.

$$x=\frac{243}{10}$$

2y+x=315.9లో xను \frac{243}{10} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2y+\frac{243}{10}=315.9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{243}{10}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2y=\frac{1458}{5}$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$y=\frac{729}{5}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=\frac{729}{5},x=\frac{243}{10}$$