{l}{y=350000+50x}{y=480x} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { y = 350000 + 50 x } \\ { y = 480 x } \end{array} \right.$$

y, xని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{35000}{43} = 813\frac{41}{43} \approx 813.953488372$$

$$y = \frac{16800000}{43} = 390697\frac{29}{43} \approx 390697.674418605$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 50xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-50x=350000$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 480xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-480x=0$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$y-50x=350000,y-480x=0$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న yని వేరు చేయడం ద్వారా yని పరిష్కరించండి.

$$y-50x=350000$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 50xని కూడండి.

$$y=50x+350000$$

మరొక సమీకరణములో yను 350000+50x స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, y-480x=0.

$$50x+350000-480x=0$$

-480xకు 50xని కూడండి.

$$-430x+350000=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 350000ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-430x=-350000$$

రెండు వైపులా -430తో భాగించండి.

$$x=\frac{35000}{43}$$

y=50x+350000లో xను \frac{35000}{43} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y=50\times \frac{35000}{43}+350000$$

50 సార్లు \frac{35000}{43}ని గుణించండి.

$$y=\frac{1750000}{43}+350000$$

\frac{1750000}{43}కు 350000ని కూడండి.

$$y=\frac{16800000}{43}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=\frac{16800000}{43},x=\frac{35000}{43}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 50xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-50x=350000$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 480xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-480x=0$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$y-50x=350000,y-480x=0$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&-50\\1&-480\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}350000\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-50\\1&-480\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-50\\1&-480\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-50\\1&-480\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-50\\1&-480\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350000\\0\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-50\\1&-480\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350000\\0\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-50\\1&-480\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350000\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{480}{-480-\left(-50\right)}&-\frac{-50}{-480-\left(-50\right)}\\-\frac{1}{-480-\left(-50\right)}&\frac{1}{-480-\left(-50\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}350000\\0\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{43}&-\frac{5}{43}\\\frac{1}{430}&-\frac{1}{430}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}350000\\0\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{43}\times 350000\\\frac{1}{430}\times 350000\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16800000}{43}\\\frac{35000}{43}\end{matrix}\right)$$

y మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$y=\frac{16800000}{43},x=\frac{35000}{43}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 50xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-50x=350000$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 480xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-480x=0$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$y-50x=350000,y-480x=0$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా y-480x=0ని y-50x=350000 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-y-50x+480x=350000$$

-yకు yని కూడండి. y మరియు -y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-50x+480x=350000$$

480xకు -50xని కూడండి.

$$430x=350000$$

రెండు వైపులా 430తో భాగించండి.

$$x=\frac{35000}{43}$$

y-480x=0లో xను \frac{35000}{43} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y-480\times \frac{35000}{43}=0$$

-480 సార్లు \frac{35000}{43}ని గుణించండి.

$$y-\frac{16800000}{43}=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{16800000}{43}ని కూడండి.

$$y=\frac{16800000}{43}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=\frac{16800000}{43},x=\frac{35000}{43}$$