{l}{y=x+1/2+3}{y=2x+10} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x + 1 } { 2 } + 3 } \\ { y = 2 x + 10 } \end{array} \right.$$

y, xని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+1 యొక్క ప్రతి విలువని 2తో భాగించడం ద్వారా \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}ని పొందండి.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+3$$

\frac{7}{2}ని పొందడం కోసం \frac{1}{2} మరియు 3ని కూడండి.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$$

మరొక సమీకరణములో yను \frac{7+x}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, y-2x=10.

$$\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}-2x=10$$

-2xకు \frac{x}{2}ని కూడండి.

$$-\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}=10$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{7}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{3}{2}x=\frac{13}{2}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{3}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=-\frac{13}{3}$$

y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}లో xను -\frac{13}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y=\frac{1}{2}\left(-\frac{13}{3}\right)+\frac{7}{2}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{1}{2} సార్లు -\frac{13}{3}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$y=-\frac{13}{6}+\frac{7}{2}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{13}{6}కు \frac{7}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$y=\frac{4}{3}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{13}{3}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+1 యొక్క ప్రతి విలువని 2తో భాగించడం ద్వారా \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}ని పొందండి.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+3$$

\frac{7}{2}ని పొందడం కోసం \frac{1}{2} మరియు 3ని కూడండి.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$$

రెండు భాగాల నుండి \frac{1}{2}xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{7}{2}$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 2xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-2x=10$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{7}{2},y-2x=10$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\times \frac{7}{2}-\frac{1}{3}\times 10\\\frac{2}{3}\times \frac{7}{2}-\frac{2}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\-\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

y మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{13}{3}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+1 యొక్క ప్రతి విలువని 2తో భాగించడం ద్వారా \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}ని పొందండి.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+3$$

\frac{7}{2}ని పొందడం కోసం \frac{1}{2} మరియు 3ని కూడండి.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$$

రెండు భాగాల నుండి \frac{1}{2}xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{7}{2}$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 2xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-2x=10$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{7}{2},y-2x=10$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా y-2x=10ని y-\frac{1}{2}x=\frac{7}{2} నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-y-\frac{1}{2}x+2x=\frac{7}{2}-10$$

-yకు yని కూడండి. y మరియు -y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-\frac{1}{2}x+2x=\frac{7}{2}-10$$

2xకు -\frac{x}{2}ని కూడండి.

$$\frac{3}{2}x=\frac{7}{2}-10$$

-10కు \frac{7}{2}ని కూడండి.

$$\frac{3}{2}x=-\frac{13}{2}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{3}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=-\frac{13}{3}$$

y-2x=10లో xను -\frac{13}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y-2\left(-\frac{13}{3}\right)=10$$

-2 సార్లు -\frac{13}{3}ని గుణించండి.

$$y+\frac{26}{3}=10$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{26}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=\frac{4}{3}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{13}{3}$$