{l}{y=5/2x-2}{y=-1/2x+4} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 5 } { 2 } x - 2 } \\ { y = - \frac { 1 } { 2 } x + 4 } \end{array} \right.$$

y, xని పరిష్కరించండి

$$x=2$$

$$y=3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి \frac{5}{2}xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-\frac{5}{2}x=-2$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా \frac{1}{2}xని జోడించండి.

$$y+\frac{1}{2}x=4$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$y-\frac{5}{2}x=-2,y+\frac{1}{2}x=4$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న yని వేరు చేయడం ద్వారా yని పరిష్కరించండి.

$$y-\frac{5}{2}x=-2$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{5x}{2}ని కూడండి.

$$y=\frac{5}{2}x-2$$

మరొక సమీకరణములో yను \frac{5x}{2}-2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, y+\frac{1}{2}x=4.

$$\frac{5}{2}x-2+\frac{1}{2}x=4$$

\frac{x}{2}కు \frac{5x}{2}ని కూడండి.

$$3x-2=4$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2ని కూడండి.

$$3x=6$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=2$$

y=\frac{5}{2}x-2లో xను 2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y=\frac{5}{2}\times 2-2$$

\frac{5}{2} సార్లు 2ని గుణించండి.

$$y=5-2$$

5కు -2ని కూడండి.

$$y=3$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=3,x=2$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి \frac{5}{2}xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-\frac{5}{2}x=-2$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా \frac{1}{2}xని జోడించండి.

$$y+\frac{1}{2}x=4$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$y-\frac{5}{2}x=-2,y+\frac{1}{2}x=4$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\left(-\frac{5}{2}\right)}&-\frac{-\frac{5}{2}}{\frac{1}{2}-\left(-\frac{5}{2}\right)}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}-\left(-\frac{5}{2}\right)}&\frac{1}{\frac{1}{2}-\left(-\frac{5}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{5}{6}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-2\right)+\frac{5}{6}\times 4\\-\frac{1}{3}\left(-2\right)+\frac{1}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

y మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$y=3,x=2$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి \frac{5}{2}xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-\frac{5}{2}x=-2$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా \frac{1}{2}xని జోడించండి.

$$y+\frac{1}{2}x=4$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$y-\frac{5}{2}x=-2,y+\frac{1}{2}x=4$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా y+\frac{1}{2}x=4ని y-\frac{5}{2}x=-2 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-y-\frac{5}{2}x-\frac{1}{2}x=-2-4$$

-yకు yని కూడండి. y మరియు -y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-\frac{5}{2}x-\frac{1}{2}x=-2-4$$

-\frac{x}{2}కు -\frac{5x}{2}ని కూడండి.

$$-3x=-2-4$$

-4కు -2ని కూడండి.

$$-3x=-6$$

రెండు వైపులా -3తో భాగించండి.

$$x=2$$

y+\frac{1}{2}x=4లో xను 2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y+\frac{1}{2}\times 2=4$$

\frac{1}{2} సార్లు 2ని గుణించండి.

$$y+1=4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 1ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=3$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=3,x=2$$