{l}{x+y=500}{25x+35y=14500} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 500 } \\ { 25 x + 35 y = 14500 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=300$$

$$y=200$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x+y=500,25x+35y=14500$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x+y=500$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-y+500$$

మరొక సమీకరణములో xను -y+500 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 25x+35y=14500.

$$25\left(-y+500\right)+35y=14500$$

25 సార్లు -y+500ని గుణించండి.

$$-25y+12500+35y=14500$$

35yకు -25yని కూడండి.

$$10y+12500=14500$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 12500ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$10y=2000$$

రెండు వైపులా 10తో భాగించండి.

$$y=200$$

x=-y+500లో yను 200 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-200+500$$

-200కు 500ని కూడండి.

$$x=300$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=300,y=200$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x+y=500,25x+35y=14500$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\14500\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\14500\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\14500\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\14500\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{35-25}&-\frac{1}{35-25}\\-\frac{25}{35-25}&\frac{1}{35-25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\14500\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{10}\\-\frac{5}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\14500\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 500-\frac{1}{10}\times 14500\\-\frac{5}{2}\times 500+\frac{1}{10}\times 14500\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\200\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=300,y=200$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x+y=500,25x+35y=14500$$

x మరియు 25xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 25తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$25x+25y=25\times 500,25x+35y=14500$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$25x+25y=12500,25x+35y=14500$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 25x+35y=14500ని 25x+25y=12500 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$25x-25x+25y-35y=12500-14500$$

-25xకు 25xని కూడండి. 25x మరియు -25x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$25y-35y=12500-14500$$

-35yకు 25yని కూడండి.

$$-10y=12500-14500$$

-14500కు 12500ని కూడండి.

$$-10y=-2000$$

రెండు వైపులా -10తో భాగించండి.

$$y=200$$

25x+35y=14500లో yను 200 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$25x+35\times 200=14500$$

35 సార్లు 200ని గుణించండి.

$$25x+7000=14500$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 7000ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$25x=7500$$

రెండు వైపులా 25తో భాగించండి.

$$x=300$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=300,y=200$$