{l}{x+y=130}{4x+65y=78} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 130 } \\ { 4 x + 65 y = 78 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{8372}{61} = 137\frac{15}{61} \approx 137.245901639$$

$$y = -\frac{442}{61} = -7\frac{15}{61} \approx -7.245901639$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x+y=130,4x+65y=78$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x+y=130$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-y+130$$

మరొక సమీకరణములో xను -y+130 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 4x+65y=78.

$$4\left(-y+130\right)+65y=78$$

4 సార్లు -y+130ని గుణించండి.

$$-4y+520+65y=78$$

65yకు -4yని కూడండి.

$$61y+520=78$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 520ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$61y=-442$$

రెండు వైపులా 61తో భాగించండి.

$$y=-\frac{442}{61}$$

x=-y+130లో yను -\frac{442}{61} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\left(-\frac{442}{61}\right)+130$$

-1 సార్లు -\frac{442}{61}ని గుణించండి.

$$x=\frac{442}{61}+130$$

\frac{442}{61}కు 130ని కూడండి.

$$x=\frac{8372}{61}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{8372}{61},y=-\frac{442}{61}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x+y=130,4x+65y=78$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&65\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\78\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\4&65\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&65\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&65\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&65\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\78\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&65\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\78\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&65\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\78\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{65}{65-4}&-\frac{1}{65-4}\\-\frac{4}{65-4}&\frac{1}{65-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\78\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{65}{61}&-\frac{1}{61}\\-\frac{4}{61}&\frac{1}{61}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\78\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{65}{61}\times 130-\frac{1}{61}\times 78\\-\frac{4}{61}\times 130+\frac{1}{61}\times 78\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8372}{61}\\-\frac{442}{61}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{8372}{61},y=-\frac{442}{61}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x+y=130,4x+65y=78$$

x మరియు 4xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$4x+4y=4\times 130,4x+65y=78$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$4x+4y=520,4x+65y=78$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 4x+65y=78ని 4x+4y=520 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x-4x+4y-65y=520-78$$

-4xకు 4xని కూడండి. 4x మరియు -4x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$4y-65y=520-78$$

-65yకు 4yని కూడండి.

$$-61y=520-78$$

-78కు 520ని కూడండి.

$$-61y=442$$

రెండు వైపులా -61తో భాగించండి.

$$y=-\frac{442}{61}$$

4x+65y=78లో yను -\frac{442}{61} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$4x+65\left(-\frac{442}{61}\right)=78$$

65 సార్లు -\frac{442}{61}ని గుణించండి.

$$4x-\frac{28730}{61}=78$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{28730}{61}ని కూడండి.

$$4x=\frac{33488}{61}$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{8372}{61}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{8372}{61},y=-\frac{442}{61}$$