{l}{s-t=3}{s/3+t/2=6} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { s - t = 3 } \\ { \frac { s } { 3 } + \frac { t } { 2 } = 6 } \end{array} \right.$$

s, tని పరిష్కరించండి

$$t=6$$

$$s=9$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$s-t=3,\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=6$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న sని వేరు చేయడం ద్వారా sని పరిష్కరించండి.

$$s-t=3$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా tని కూడండి.

$$s=t+3$$

మరొక సమీకరణములో sను t+3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, \frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=6.

$$\frac{1}{3}\left(t+3\right)+\frac{1}{2}t=6$$

\frac{1}{3} సార్లు t+3ని గుణించండి.

$$\frac{1}{3}t+1+\frac{1}{2}t=6$$

\frac{t}{2}కు \frac{t}{3}ని కూడండి.

$$\frac{5}{6}t+1=6$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 1ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{5}{6}t=5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{5}{6}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$t=6$$

s=t+3లో tను 6 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు sని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$s=6+3$$

6కు 3ని కూడండి.

$$s=9$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$s=9,t=6$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$s-t=3,\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=6$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{6}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{6}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 3+\frac{6}{5}\times 6\\-\frac{2}{5}\times 3+\frac{6}{5}\times 6\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

s మరియు t మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$s=9,t=6$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$s-t=3,\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=6$$

s మరియు \frac{s}{3}ని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను \frac{1}{3}తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$\frac{1}{3}s+\frac{1}{3}\left(-1\right)t=\frac{1}{3}\times 3,\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=6$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$\frac{1}{3}s-\frac{1}{3}t=1,\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=6$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా \frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=6ని \frac{1}{3}s-\frac{1}{3}t=1 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{1}{3}s-\frac{1}{3}s-\frac{1}{3}t-\frac{1}{2}t=1-6$$

-\frac{s}{3}కు \frac{s}{3}ని కూడండి. \frac{s}{3} మరియు -\frac{s}{3} విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-\frac{1}{3}t-\frac{1}{2}t=1-6$$

-\frac{t}{2}కు -\frac{t}{3}ని కూడండి.

$$-\frac{5}{6}t=1-6$$

-6కు 1ని కూడండి.

$$-\frac{5}{6}t=-5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{5}{6}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$t=6$$

\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=6లో tను 6 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు sని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}\times 6=6$$

\frac{1}{2} సార్లు 6ని గుణించండి.

$$\frac{1}{3}s+3=6$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{1}{3}s=3$$

రెండు వైపులా 3తో గుణించండి.

$$s=9$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$s=9,t=6$$